Question Number 171730 by Mikenice last updated on 20/Jun/22
$${solve}\frac{\mathrm{8}^{{x}} −\mathrm{2}^{{x}} }{\mathrm{6}^{{x}} −\mathrm{3}^{{x}\:} }=\mathrm{2}.\:{find}\:{x} \\ $$$$ \\ $$
Answered by puissant last updated on 20/Jun/22
$$\frac{\mathrm{8}^{{x}} −\mathrm{2}^{{x}} }{\mathrm{6}^{{x}} −\mathrm{3}^{{x}} }=\mathrm{2}\:\:\:\Rightarrow\:\:\:\:\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{3}{x}} −\mathrm{2}^{{x}} }{\mathrm{2}^{{x}} .\mathrm{3}^{{x}} −\mathrm{3}^{{x}} }\:=\:\mathrm{2} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\Rightarrow\:\frac{\mathrm{2}^{{x}} \left(\mathrm{2}^{{x}} −\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}^{{x}} +\mathrm{1}\right)}{\mathrm{3}^{{x}} \left(\mathrm{2}^{{x}} −\mathrm{1}\right)}\:=\:\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{2}^{{x}} −\mathrm{1}\:\neq\:\mathrm{0}\:\:,\:{x}\neq\:\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\Rightarrow\:\frac{\mathrm{2}^{{x}} \left(\mathrm{2}^{{x}} +\mathrm{1}\right)}{\mathrm{3}^{{x}} }=\mathrm{2} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\Rightarrow\:\mathrm{2}^{{x}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{2}^{{x}} +\mathrm{1}\right)=\mathrm{3}^{{x}} \\ $$$$\bullet\:{for}\:{x}\geqslant\mathrm{2}\:,\:\:{no}\:{solution}. \\ $$$$\bullet\:{for}\:{x}=\mathrm{1}\:,\:\mathrm{2}^{\mathrm{1}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{2}^{\mathrm{1}} +\mathrm{1}\right)=\mathrm{3}=\mathrm{3}^{\mathrm{1}} . \\ $$$$\bullet\:{for}\:{x}\leqslant−\mathrm{1}\:,\:\:{no}\:{solution}. \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{S}=\left\{\:\mathrm{1}\:\right\}. \\ $$$$ \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:……….\mathscr{L}{e}\:{puissant}………. \\ $$
Commented by Mikenice last updated on 20/Jun/22
$${thanks}\:{sir} \\ $$