Menu Close

find-the-solution-set-of-equation-x-2-5x-4-x-2-5-x-4-

Tinku Tara 0 Comments
Pin




Question Number 106356 by bobhans last updated on 04/Aug/20
find the solution set of equation ∣x^2 −5x+4∣ = x^2 −5∣x∣ + 4
$$\mathrm{find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{set}\:\mathrm{of}\:\mathrm{equation}\: \\ $$$$\mid\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5x}+\mathrm{4}\mid\:=\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}\mid\mathrm{x}\mid\:+\:\mathrm{4}\: \\ $$
Commented by bobhans last updated on 05/Aug/20
thanm you both
$$\mathrm{thanm}\:\mathrm{you}\:\mathrm{both} \\ $$
Answered by 1549442205PVT last updated on 05/Aug/20
Set f(x)=x^2 −5x+4=(x−1)(x−4) i)If 1≤x≤4 then f(x)≤0 and ∣x∣=x⇒ ∣x^2 −5x+4∣ = x^2 −5∣x∣ + 4 (1) ⇔−(x^2 −5x+4)=x^2 −5x+4 ⇔x^2 −5x+4=0⇔(x−1)(x−4)=0 ⇔x∈{1;4} ii)If x>4 then f(x)>0. (1)⇔x^2 −5x+4= x^2 −5x + 4 ⇔0.x=0⇒x∈(4;+∞) iii)If 0≤x<1 then f(x)>0,∣x∣=x (1)⇔x^2 −5x+4 = x^2 −5x + 4 ⇔0.x=0⇒x∈[0;1) iv)If −∞<x<0⇒f(x)>0,∣x∣=−x (1)⇔x^2 −5x+4=x^2 +5x+4=0 ⇔10x=0⇔x=0⇒has no roots Thus,solution set of the given equation is S=[0,1]∪[4;+∞)
$$\mathrm{Set}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5x}+\mathrm{4}=\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{4}\right) \\ $$$$\left.\mathrm{i}\right)\mathrm{If}\:\mathrm{1}\leqslant\mathrm{x}\leqslant\mathrm{4}\:\mathrm{then}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\leqslant\mathrm{0}\:\mathrm{and}\:\mid\mathrm{x}\mid=\mathrm{x}\Rightarrow \\ $$$$\mid\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5x}+\mathrm{4}\mid\:=\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}\mid\mathrm{x}\mid\:+\:\mathrm{4}\:\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\Leftrightarrow−\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5x}+\mathrm{4}\right)=\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5x}+\mathrm{4} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5x}+\mathrm{4}=\mathrm{0}\Leftrightarrow\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{4}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{x}\in\left\{\mathrm{1};\mathrm{4}\right\} \\ $$$$\left.\mathrm{ii}\right)\mathrm{If}\:\mathrm{x}>\mathrm{4}\:\mathrm{then}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)>\mathrm{0}. \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)\Leftrightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5x}+\mathrm{4}=\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5x}\:+\:\mathrm{4}\: \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{0}.\mathrm{x}=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{x}\in\left(\mathrm{4};+\infty\right) \\ $$$$\left.\mathrm{iii}\right)\mathrm{If}\:\mathrm{0}\leqslant\mathrm{x}<\mathrm{1}\:\mathrm{then}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)>\mathrm{0},\mid\mathrm{x}\mid=\mathrm{x} \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)\Leftrightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5x}+\mathrm{4}\:=\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5x}\:+\:\mathrm{4}\: \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{0}.\mathrm{x}=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{x}\in\left[\mathrm{0};\mathrm{1}\right) \\ $$$$\left.\mathrm{iv}\right)\mathrm{If}\:−\infty<\mathrm{x}<\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)>\mathrm{0},\mid\mathrm{x}\mid=−\mathrm{x} \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)\Leftrightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5x}+\mathrm{4}=\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{5x}+\mathrm{4}=\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{10x}=\mathrm{0}\Leftrightarrow\mathrm{x}=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{has}\:\mathrm{no}\:\mathrm{roots} \\ $$$$\mathrm{Thus},\mathrm{solution}\:\mathrm{set}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{given}\:\mathrm{equation} \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{is}}\:\boldsymbol{\mathrm{S}}=\left[\mathrm{0},\mathrm{1}\right]\cup\left[\mathrm{4};+\infty\right) \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 04/Aug/20
e⇒∣x^2 −5x+4∣−x^2 +5∣x∣−4 =0 =A(x) x^2 −5x+4 =x^2 −4x−(x−4) =x(x−4)−(x−4)=(x−4)(x−1) x −∞ 0 1 4 +∞ ∣x^2 −5x+4∣ x^2 −5x+4 −x^2 +5x−4 −x^2 +5x−4 x^2 −5x+4 ∣x∣ −x 0 x x x A(x) −10x −2x^2 +10x−8 s.v 0 so A(x)= { ((−10x if x≤0)),((−2x^2 +10x−8 if 0≤x≤4)) :} and A(x) =0 if x≥4 x≤0 ⇒−10x =0 ⇒x=0 0≤x≤4 ⇒−2x^2 +10x −8 =0 ⇒2x^2 −10x +8 =0 ⇒ x^2 −5x +4 =0 ⇒x =1 or x=4 ⇒ set of solution is S ={0,1} ∪[4,+∞[
$$\mathrm{e}\Rightarrow\mid\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5x}+\mathrm{4}\mid−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{5}\mid\mathrm{x}\mid−\mathrm{4}\:=\mathrm{0}\:=\mathrm{A}\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5x}+\mathrm{4}\:=\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4x}−\left(\mathrm{x}−\mathrm{4}\right)\:=\mathrm{x}\left(\mathrm{x}−\mathrm{4}\right)−\left(\mathrm{x}−\mathrm{4}\right)=\left(\mathrm{x}−\mathrm{4}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{x}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−\infty\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{4}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\infty \\ $$$$\mid\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5x}+\mathrm{4}\mid\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5x}+\mathrm{4}\:\:\:\:\:\:\:−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{5x}−\mathrm{4}\:\:−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{5x}−\mathrm{4}\:\:\:\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5x}+\mathrm{4} \\ $$$$\mid\mathrm{x}\mid\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−\mathrm{x}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{x}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{x}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{x} \\ $$$$\mathrm{A}\left(\mathrm{x}\right)\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−\mathrm{10x}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{10x}−\mathrm{8}\:\:\:\mathrm{s}.\mathrm{v}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{so}\:\mathrm{A}\left(\mathrm{x}\right)=\begin{cases}{−\mathrm{10x}\:\mathrm{if}\:\mathrm{x}\leqslant\mathrm{0}}\\{−\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{10x}−\mathrm{8}\:\:\mathrm{if}\:\mathrm{0}\leqslant\mathrm{x}\leqslant\mathrm{4}}\end{cases} \\ $$$$\mathrm{and}\:\mathrm{A}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{0}\:\mathrm{if}\:\mathrm{x}\geqslant\mathrm{4} \\ $$$$\mathrm{x}\leqslant\mathrm{0}\:\:\:\Rightarrow−\mathrm{10x}\:=\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{0}\leqslant\mathrm{x}\leqslant\mathrm{4}\:\:\Rightarrow−\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{10x}\:−\mathrm{8}\:=\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{10x}\:+\mathrm{8}\:=\mathrm{0}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5x}\:+\mathrm{4}\:=\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{x}\:=\mathrm{1}\:\mathrm{or}\:\mathrm{x}=\mathrm{4}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{set}\:\mathrm{of}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{is}\:\mathrm{S}\:=\left\{\mathrm{0},\mathrm{1}\right\}\:\cup\left[\mathrm{4},+\infty\left[\right.\right. \\ $$

Pin

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *