Given-cos-x-cos-y-3-2-cos-x-y-where-x-y-0-2pi-find-x-amp-y-

Question Number 106579 by john santu last updated on 06/Aug/20

$$\mathcal{G}\mathrm{iven}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{x}+\mathrm{cos}\:\mathrm{y}=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}+\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right) \\ $$$$\mathrm{where}\:\mathrm{x},\mathrm{y}\:\in\:\left[\mathrm{0},\mathrm{2}\pi\:\right].\:\mathrm{find}\:\mathrm{x}\:\&\:\mathrm{y}\: \\ $$

Answered by bobhans last updated on 06/Aug/20

$$\mathrm{cos}\:\mathrm{x}+\mathrm{cos}\:\mathrm{y}\:=\:\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}+\mathrm{cos}\:\mathrm{xcos}\:\mathrm{y}−\mathrm{sin}\:\mathrm{xsin}\:\mathrm{y} \\ $$$$\mathrm{cos}\:\mathrm{x}+\mathrm{cos}\:\mathrm{y}−\mathrm{cos}\:\mathrm{xcos}\:\mathrm{y}+\mathrm{sin}\:\mathrm{xsin}\:\mathrm{y}=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{recall}\:\rightarrow\begin{cases}{\mathrm{cos}\:\mathrm{x}=\frac{\mathrm{1}−\mathrm{tan}\:^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)}{\mathrm{1}+\mathrm{tan}\:^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)}}\\{\mathrm{sin}\:\mathrm{x}=\frac{\mathrm{2tan}\:\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)}{\mathrm{1}+\mathrm{tan}\:^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)}}\end{cases} \\ $$$$\mathrm{set}\:\mathrm{tan}\:\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)=\:\mathrm{p}\:\&\:\mathrm{tan}\:\left(\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{2}}\right)=\:\mathrm{q} \\ $$$$\Leftrightarrow\:\frac{\mathrm{1}−\mathrm{p}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}+\mathrm{p}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}−\mathrm{q}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}+\mathrm{q}^{\mathrm{2}} }−\left(\frac{\mathrm{1}−\mathrm{p}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}+\mathrm{p}^{\mathrm{2}} }\right)\left(\frac{\mathrm{1}−\mathrm{q}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}+\mathrm{q}^{\mathrm{2}} }\right)+\frac{\mathrm{4pq}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{p}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{q}^{\mathrm{2}} \right)}=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{9p}^{\mathrm{2}} \mathrm{q}^{\mathrm{2}} −\mathrm{8pq}\:+\mathrm{p}^{\mathrm{2}} +\mathrm{q}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{3pq}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +\:\left(\mathrm{p}−\mathrm{q}\right)^{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\rightarrow\begin{cases}{\mathrm{p}=\:\mathrm{q}}\\{\mathrm{p}=\pm\:\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}}\end{cases} \\ $$$$\mathrm{case}\left(\mathrm{1}\right)\:\begin{cases}{\mathrm{p}=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\Rightarrow\mathrm{tan}\:\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{tan}\:\left(\frac{\pi}{\mathrm{6}}\right)}\\{\mathrm{q}=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\Rightarrow\mathrm{tan}\:\left(\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{tan}\:\left(\frac{\pi}{\mathrm{6}}\right)}\end{cases} \\ $$$$\rightarrow\begin{cases}{\mathrm{x}=\frac{\pi}{\mathrm{3}}}\\{\mathrm{y}=\frac{\pi}{\mathrm{3}}}\end{cases}\:\Rightarrow\left(\frac{\pi}{\mathrm{3}},\frac{\pi}{\mathrm{3}}\right) \\ $$$$\mathrm{case}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\rightarrow\begin{cases}{\mathrm{p}=−\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\Rightarrow\mathrm{tan}\:\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{tan}\:\left(−\frac{\pi}{\mathrm{6}}\right)}\\{\mathrm{q}=−\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\Rightarrow\mathrm{tan}\:\left(\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{tan}\:\left(−\frac{\pi}{\mathrm{6}}\right)}\end{cases} \\ $$$$\rightarrow\begin{cases}{\mathrm{x}=\frac{\mathrm{5}\pi}{\mathrm{3}}}\\{\mathrm{y}=\frac{\mathrm{5}\pi}{\mathrm{3}}}\end{cases}\:\Rightarrow\:\left(\frac{\mathrm{5}\pi}{\mathrm{3}},\:\frac{\mathrm{5}\pi}{\mathrm{3}}\right) \\ $$

Commented by john santu last updated on 06/Aug/20

$$\mathrm{cool}…\&\:\mathrm{jooss}\:\spadesuit \\ $$

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