Question-172636

Question Number 172636 by Mikenice last updated on 29/Jun/22

Answered by floor(10²Eta[1]) last updated on 29/Jun/22

I=∫(((√(x^2 +1))−(√(x^2 −1)))/( (√(x^2 −1))(√(x^2 +1))))dx=∫(dx/( (√(x^2 −1))))−∫(dx/( (√(x^2 +1))))=I_1 −I_2 I_1 :cosh^2 x−sinh^2 x=1 where, sinh(x)=((e^x −e^(−x) )/2) and cosh(x)=((e^x +e^(−x) )/2) let x=cosh(u)⇒dx=sinh(u)du ⇒I_1 =∫((sinh(u)du)/( (√(sinh^2 (u)))))=∫du=u+C_1 =arcosh(x)+C_1 I_2 :tg^2 x+1=sec^2 x let x=tg(u)⇒dx=sec^2 (u)du I_2 =∫((sec^2 (u)du)/( (√(sec^2 (u)))))=∫sec(u)du=ln∣tg(u)+sec(u)∣+C_2 =ln∣x+(√(x^2 +1))∣+C_2 ⇒I=arcosh(x)−ln∣x+(√(x^2 +1))∣+C

$$\mathrm{I}=\int\frac{\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}−\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}{\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}\mathrm{dx}=\int\frac{\mathrm{dx}}{\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}−\int\frac{\mathrm{dx}}{\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}=\mathrm{I}_{\mathrm{1}} −\mathrm{I}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{I}_{\mathrm{1}} :\mathrm{cosh}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}−\mathrm{sinh}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{where},\:\mathrm{sinh}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} −\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }{\mathrm{2}}\:\mathrm{and}\:\mathrm{cosh}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} +\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{x}=\mathrm{cosh}\left(\mathrm{u}\right)\Rightarrow\mathrm{dx}=\mathrm{sinh}\left(\mathrm{u}\right)\mathrm{du} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{I}_{\mathrm{1}} =\int\frac{\mathrm{sinh}\left(\mathrm{u}\right)\mathrm{du}}{\:\sqrt{\mathrm{sinh}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{u}\right)}}=\int\mathrm{du}=\mathrm{u}+\mathrm{C}_{\mathrm{1}} =\mathrm{arcosh}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{C}_{\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{I}_{\mathrm{2}} :\mathrm{tg}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}+\mathrm{1}=\mathrm{sec}^{\mathrm{2}} \mathrm{x} \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{x}=\mathrm{tg}\left(\mathrm{u}\right)\Rightarrow\mathrm{dx}=\mathrm{sec}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{u}\right)\mathrm{du} \\ $$$$\mathrm{I}_{\mathrm{2}} =\int\frac{\mathrm{sec}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{u}\right)\mathrm{du}}{\:\sqrt{\mathrm{sec}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{u}\right)}}=\int\mathrm{sec}\left(\mathrm{u}\right)\mathrm{du}=\mathrm{ln}\mid\mathrm{tg}\left(\mathrm{u}\right)+\mathrm{sec}\left(\mathrm{u}\right)\mid+\mathrm{C}_{\mathrm{2}} \\ $$$$=\mathrm{ln}\mid\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\mid+\mathrm{C}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{I}=\mathrm{arcosh}\left(\mathrm{x}\right)−\mathrm{ln}\mid\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\mid+\mathrm{C} \\ $$

Commented by BaliramKumar last updated on 30/Jun/22

$$\mathrm{I}\:=\:\mathrm{cosh}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)\:−\:\mathrm{sinh}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)\:+\:\mathrm{C} \\ $$

Answered by Mathspace last updated on 29/Jun/22

Υ=∫ (((√(x^2 +1))−(√(x^2 −1)))/( (√(x^2 +1))(√(x^2 −1))))dx =∫ (dx/( (√(x^2 −1))))−∫ (dx/( (√(x^2 +1)))) =arch(x)−argsh(x)+c =ln(x+(√(x^2 −1)))−ln(x+(√(x^2 −1)))+c =ln(((x+(√(x^2 −1)))/(x+(√(x^2 −1)))))+c

$$\Upsilon=\int\:\frac{\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}−\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}{\:\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}{dx} \\ $$$$=\int\:\:\frac{{dx}}{\:\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}−\int\:\frac{{dx}}{\:\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}} \\ $$$$={arch}\left({x}\right)−{argsh}\left({x}\right)+{c} \\ $$$$={ln}\left({x}+\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\right)−{ln}\left({x}+\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\right)+{c} \\ $$$$={ln}\left(\frac{{x}+\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}{{x}+\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}\right)+{c} \\ $$

Commented by Mathspace last updated on 30/Jun/22

Υ=ln(((x+(√(x^2 −1)))/(x+(√(x^2 +1)))))+C

$$\Upsilon={ln}\left(\frac{{x}+\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}{{x}+\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}\right)+{C} \\ $$

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