Question Number 107377 by ajfour last updated on 10/Aug/20
$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{{x}\left(\mathrm{1}+{a}\mathrm{cos}\:{x}\right)−{b}\mathrm{sin}\:{x}}{{x}^{\mathrm{3}} }\:=\:\mathrm{1} \\ $$$${Find}\:\:{a}\:{and}\:{b}\:. \\ $$
Answered by john santu last updated on 10/Aug/20
$$\:\:\:\:\divideontimes\mathcal{JS}\divideontimes \\ $$$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{{x}\left(\mathrm{1}+{a}\left(\mathrm{1}−\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\right)\right)−{b}\left({x}−\frac{{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{6}}\right)}{{x}^{\mathrm{3}} }=\mathrm{1} \\ $$$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\left(\mathrm{1}+{a}−{b}\right){x}−\frac{{ax}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{2}}+\frac{{bx}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{6}}}{{x}^{\mathrm{3}} }=\mathrm{1} \\ $$$$\rightarrow\begin{cases}{\mathrm{1}+{a}−{b}=\mathrm{0}\rightarrow{a}−{b}=−\mathrm{1}}\\{\frac{{b}}{\mathrm{6}}−\frac{{a}}{\mathrm{2}}=\mathrm{1}\rightarrow{b}−\mathrm{3}{a}=\mathrm{6}}\end{cases} \\ $$$$\Rightarrow{b}−\mathrm{3}\left({b}−\mathrm{1}\right)=\mathrm{6}\:\Rightarrow−\mathrm{2}{b}=\mathrm{3}\:,{b}=−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}} \\ $$$${and}\:{a}=−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}−\mathrm{1}=−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}} \\ $$
Commented by ajfour last updated on 10/Aug/20
$${Thanks},\:{Right}\:{Answer}! \\ $$
Answered by Dwaipayan Shikari last updated on 10/Aug/20
$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{−\mathrm{axsinx}+\left(\mathrm{1}+\mathrm{acosx}\right)−\mathrm{bcosx}}{\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} }=\mathrm{1} \\ $$$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{−\mathrm{asinx}−\mathrm{axcosx}−\mathrm{asinx}+\mathrm{bsinx}}{\mathrm{6x}}=\mathrm{1} \\ $$$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{−\mathrm{2ax}−\mathrm{axcosx}+\mathrm{bx}}{\mathrm{6x}}=\mathrm{1} \\ $$$$−\mathrm{2a}−\mathrm{acosx}+\mathrm{b}=\mathrm{6} \\ $$$$\mathrm{b}−\mathrm{3a}=\mathrm{6}\rightarrow\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{Or} \\ $$$$\frac{\mathrm{x}\left(\mathrm{1}+\mathrm{acosx}\right)−\mathrm{bsinx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }=\mathrm{1} \\ $$$$\frac{\mathrm{x}+\mathrm{axcosx}−\mathrm{bx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{x}+\mathrm{axcosx}−\mathrm{bx}=\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{1}+\mathrm{a}−\mathrm{b}=\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{a}−\mathrm{b}=−\mathrm{1}\rightarrow\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\begin{cases}{\mathrm{b}=−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}}\\{\mathrm{a}=−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}}\end{cases} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$
Commented by ajfour last updated on 10/Aug/20
$${Thank}\:{you},\:{Sir}. \\ $$