Question Number 172912 by mnjuly1970 last updated on 03/Jul/22
Answered by FongXD last updated on 03/Jul/22
$$\bigstar\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}+\mathrm{4n}\right) \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{f}'\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}'\left(\mathrm{x}+\mathrm{4n}\right) \\ $$$$\bigstar\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{f}\left(\mathrm{3x}+\mathrm{2}\right) \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{f}'\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}'\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{3f}'\left(\mathrm{3x}+\mathrm{2}\right) \\ $$$$\bullet\:\mathrm{x}=\mathrm{1},\:\mathrm{f}'\left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{f}'\left(\mathrm{2}\right)+\mathrm{3f}'\left(\mathrm{5}\right)=\mathrm{f}'\left(\mathrm{2}\right)+\mathrm{3f}'\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{f}'\left(\mathrm{2}\right)=−\mathrm{2f}'\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\bullet\:\mathrm{x}=\mathrm{0},\:\mathrm{f}'\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{f}'\left(\mathrm{1}\right)+\mathrm{3f}'\left(\mathrm{2}\right)=\mathrm{f}'\left(\mathrm{1}\right)−\mathrm{6f}'\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{f}'\left(\mathrm{0}\right)=−\mathrm{5f}'\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\bullet\:\mathrm{x}=\mathrm{2},\:\mathrm{f}'\left(\mathrm{2}\right)=\mathrm{f}'\left(\mathrm{3}\right)+\mathrm{3f}'\left(\mathrm{8}\right)=−\mathrm{18}+\mathrm{3f}'\left(\mathrm{0}\right) \\ $$$$\Leftrightarrow\:−\mathrm{2f}'\left(\mathrm{1}\right)=−\mathrm{18}−\mathrm{15f}'\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{f}'\left(\mathrm{1}\right)=−\frac{\mathrm{18}}{\mathrm{13}} \\ $$
Commented by mnjuly1970 last updated on 03/Jul/22
$$\mathrm{thanks}\:\mathrm{alot} \\ $$