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Question-108416

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Question Number 108416 by mathdave last updated on 16/Aug/20
Answered by mathmax by abdo last updated on 16/Aug/20
I =∫ ln((√(1+x))+(√(1−x)))dx we do the changement x =cos(2t) ⇒ I =∫ ln((√(2cos^2 t)) +(√(2sin^2 t)))(−2sin(2t) dt =−2 ∫ ln((√2)(cost +sint)sin(2t)dt =−2 ln((√2)) ∫ sin(2t)dt −2∫ ln(cost +sint)sin(2t)dt =(1/2)ln(2)cos(2t)−2 ∫ sin(2t)ln(cost +sint)dt by psrts ∫ sin(2t)ln(cost +sint)dt =−(1/2)cos(2t)ln(cost +sint) +(1/2) ∫ cos(2t)((cost−sint)/(cost +sint))dt (1/2)∫cos(2t)((cost−sint)/(cost +sint))dt=(1/2)∫ cos(2t)×(((cost−sint)^2 )/(cos(2t)))dt =(1/2)∫ (1−2cost sint)dt =(t/2) −(1/2)∫ sin(2t)dt =(t/2) +(1/4)cos(2t) +c =(1/4) arcosx +(x/4) ⇒ I =(x/2)ln(2) +xln((√((1+x)/2))+(√((1−x)/2)))−(1/2)arcosx−(x/2) +c I =(x/2)ln(2)+xln((√(1+x))+(√(1−x)))+xln((1/( (√2))))−(1/2)arcosx −(x/2) +c =xln((√(1+x))+(√(1−x)))−(1/2)((π/2) −arcsinx) −(x/2) +c ★I=xln((√(1+x))+(√(1−x)))+((arcsinx)/2)−(x/2) +C★ (C =c−(π/4))
$$\mathrm{I}\:=\int\:\mathrm{ln}\left(\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}}+\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}}\right)\mathrm{dx}\:\mathrm{we}\:\mathrm{do}\:\mathrm{the}\:\mathrm{changement}\:\mathrm{x}\:=\mathrm{cos}\left(\mathrm{2t}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{I}\:=\int\:\mathrm{ln}\left(\sqrt{\mathrm{2cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{t}}\:+\sqrt{\mathrm{2sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{t}}\right)\left(−\mathrm{2sin}\left(\mathrm{2t}\right)\:\mathrm{dt}\right. \\ $$$$=−\mathrm{2}\:\int\:\mathrm{ln}\left(\sqrt{\mathrm{2}}\left(\mathrm{cost}\:+\mathrm{sint}\right)\mathrm{sin}\left(\mathrm{2t}\right)\mathrm{dt}\right. \\ $$$$=−\mathrm{2}\:\mathrm{ln}\left(\sqrt{\mathrm{2}}\right)\:\int\:\mathrm{sin}\left(\mathrm{2t}\right)\mathrm{dt}\:−\mathrm{2}\int\:\mathrm{ln}\left(\mathrm{cost}\:+\mathrm{sint}\right)\mathrm{sin}\left(\mathrm{2t}\right)\mathrm{dt} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)\mathrm{cos}\left(\mathrm{2t}\right)−\mathrm{2}\:\int\:\mathrm{sin}\left(\mathrm{2t}\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{cost}\:+\mathrm{sint}\right)\mathrm{dt}\:\mathrm{by}\:\mathrm{psrts}\: \\ $$$$\int\:\mathrm{sin}\left(\mathrm{2t}\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{cost}\:+\mathrm{sint}\right)\mathrm{dt}\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\left(\mathrm{2t}\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{cost}\:+\mathrm{sint}\right) \\ $$$$+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\int\:\mathrm{cos}\left(\mathrm{2t}\right)\frac{\mathrm{cost}−\mathrm{sint}}{\mathrm{cost}\:+\mathrm{sint}}\mathrm{dt} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\mathrm{cos}\left(\mathrm{2t}\right)\frac{\mathrm{cost}−\mathrm{sint}}{\mathrm{cost}\:+\mathrm{sint}}\mathrm{dt}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\:\mathrm{cos}\left(\mathrm{2t}\right)×\frac{\left(\mathrm{cost}−\mathrm{sint}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{cos}\left(\mathrm{2t}\right)}\mathrm{dt} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\:\left(\mathrm{1}−\mathrm{2cost}\:\mathrm{sint}\right)\mathrm{dt}\:=\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{2}}\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\:\mathrm{sin}\left(\mathrm{2t}\right)\mathrm{dt} \\ $$$$=\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{2}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{cos}\left(\mathrm{2t}\right)\:+\mathrm{c}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\:\mathrm{arcosx}\:+\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{4}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{I}\:=\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)\:+\mathrm{xln}\left(\sqrt{\frac{\mathrm{1}+\mathrm{x}}{\mathrm{2}}}+\sqrt{\frac{\mathrm{1}−\mathrm{x}}{\mathrm{2}}}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{arcosx}−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\:\:+\mathrm{c} \\ $$$$\mathrm{I}\:=\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)+\mathrm{xln}\left(\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}}+\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}}\right)+\mathrm{xln}\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{arcosx}\:−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\:+\mathrm{c} \\ $$$$=\mathrm{xln}\left(\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}}+\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\frac{\pi}{\mathrm{2}}\:−\mathrm{arcsinx}\right)\:−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\:+\mathrm{c} \\ $$$$\bigstar\mathrm{I}=\mathrm{xln}\left(\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}}+\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}}\right)+\frac{\mathrm{arcsinx}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\:+\mathrm{C}\bigstar\:\:\left(\mathrm{C}\:=\mathrm{c}−\frac{\pi}{\mathrm{4}}\right) \\ $$
Answered by Sarah85 last updated on 17/Aug/20
∫ln ((√(1+x))+(√(1−x))) dx integration by parts leads to xln ((√(1+x))+(√(1−x))) −∫((x^2 −1+(√(1−x^2 )))/(2(x^2 −1)))dx the first one can be written as ln ((√(1+x))+(√(1−x)))^x the second one ∫(1/(2(√(1−x^2 ))))dx−∫(1/2)dx=(1/2)arcsin x −(x/2)+C
$$\int\mathrm{ln}\:\left(\sqrt{\mathrm{1}+{x}}+\sqrt{\mathrm{1}−{x}}\right)\:{dx} \\ $$$$\mathrm{integration}\:\mathrm{by}\:\mathrm{parts}\:\mathrm{leads}\:\mathrm{to} \\ $$$${x}\mathrm{ln}\:\left(\sqrt{\mathrm{1}+{x}}+\sqrt{\mathrm{1}−{x}}\right)\:−\int\frac{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{2}\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)}{dx} \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{first}\:\mathrm{one}\:\mathrm{can}\:\mathrm{be}\:\mathrm{written}\:\mathrm{as}\:\mathrm{ln}\:\left(\sqrt{\mathrm{1}+{x}}+\sqrt{\mathrm{1}−{x}}\right)^{{x}} \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{second}\:\mathrm{one} \\ $$$$\int\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} }}{dx}−\int\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{dx}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{arcsin}\:{x}\:−\frac{{x}}{\mathrm{2}}+{C} \\ $$

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