Question Number 44142 by Tawa1 last updated on 22/Sep/18
$$\mathrm{Find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{total}\:\mathrm{number}\:\mathrm{of}\:\mathrm{integral}\:\mathrm{sided}\:\mathrm{triangle}\:\mathrm{whose}\:\mathrm{largest}\:\mathrm{side} \\ $$$$\mathrm{is}\:\mathrm{30}. \\ $$$$\mathrm{please}\:\mathrm{explain}\:\mathrm{with}\:\mathrm{workings} \\ $$
Answered by MrW3 last updated on 22/Sep/18
$${let}'{s}\:{say}\:{the}\:{largest}\:{side}\:{is}\:{c}\:{with} \\ $$$${c}=\mathrm{30} \\ $$$${a}+{b}>{c},\:{a}\leqslant{b}<\mathrm{30} \\ $$$${with}\:{b}=\mathrm{29}:\:{a}=\mathrm{2},\mathrm{3},…,\mathrm{29}\:\Rightarrow\mathrm{28}\:{triangles} \\ $$$${with}\:{b}=\mathrm{28}:\:{a}=\mathrm{3},\mathrm{4}…,\mathrm{28}\:\Rightarrow\mathrm{26}\:{triangles} \\ $$$${with}\:{b}=\mathrm{27}:\:{a}=\mathrm{4},\mathrm{5},…,\mathrm{27}\:\Rightarrow\mathrm{24}\:{triangles} \\ $$$$…… \\ $$$${with}\:{b}=\mathrm{16}:\:{a}=\mathrm{15},\mathrm{16}\:\Rightarrow\mathrm{2}\:{triangles} \\ $$$${total}\:{number}\:{of}\:{possible}\:{triangles}: \\ $$$$\mathrm{2}+\mathrm{4}+…+\mathrm{24}+\mathrm{26}+\mathrm{28}=\mathrm{2}\left(\mathrm{1}+\mathrm{2}+…+\mathrm{14}\right) \\ $$$$=\mathrm{2}×\frac{\mathrm{14}×\left(\mathrm{1}+\mathrm{14}\right)}{\mathrm{2}}=\mathrm{14}×\mathrm{15}=\mathrm{210} \\ $$
Commented by Tawa1 last updated on 22/Sep/18
$$\mathrm{God}\:\mathrm{bless}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir}.\:\mathrm{I}\:\mathrm{really}\:\mathrm{appreciate}\: \\ $$