find-the-series-n-2-1-n-1-3n-1-1-3n-2-

Question Number 110222 by mathdave last updated on 28/Aug/20

find the series Σ_(n=2) ^∞ (−1)^n [(1/(3n+1))+(1/(3n−2))]

$${find}\:{the}\:{series} \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}{n}+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}{n}−\mathrm{2}}\right] \\ $$

Answered by mnjuly1970 last updated on 27/Aug/20

Answered by mathmax by abdo last updated on 28/Aug/20

S =Σ_(n=2) ^∞ (((−1)^n )/(3n+1)) +Σ_(n=2) ^∞ (((−1)^n )/(3n−2)) =A +B A =Σ_(n=0) ^(∞ ) (((−1)^n )/(3n+1)) −(1−(1/4)) =−(3/4)+Σ_(n=0) ^∞ (((−1)^n )/(3n+1)) let ϕ(x) =Σ_(n=0) ^∞ (−1)^n (x^(3n+1) /(3n+1)) (∣x∣≤1) ϕ^′ (x) =Σ_(n=0) ^∞ (−1)^n x^(3n) =(1/(1+x^3 )) ⇒ϕ(x) =∫_0 ^x (dx/(1+x^3 )) +c (c=ϕ(0)=0) F(x) =(1/((x+1)(x^2 −x+1))) =(a/(x+1)) +((bx +c)/(x^2 −x+1)) a=(1/3) ,lim_(x→+∞) xF(x) =0 =a+b ⇒b=−(1/3) F(0) =1 =a +c ⇒c=1−(1/3) =(2/3) ⇒F(x)=(1/(3(x+1)))+((−(1/3)x+(2/3))/(x^2 −x+1)) A =∫_0 ^1 (dx/(x^3 +1)) =(1/3)[ln∣x+1∣]_0 ^1 −(1/6)∫_0 ^1 ((2x−1−1)/(x^2 −x+1))dx +(2/3)∫_0 ^1 (dx/(x^2 −x+1)) =((ln2)/3) −(1/6)[ln(x^2 −x+1)]_0 ^1 +(5/6) ∫_0 ^1 (dx/(x^2 −x+1)) we have ∫_0 ^1 (dx/(x^2 −x+1)) =∫_0 ^1 (dx/((x−(1/2))^2 +(3/4))) =_(x−(1/2)=((√3)/2)t) (4/3) ∫_(−(1/( (√3)))) ^(1/( (√3))) (1/(u^2 +1))((√3)/2)dt =(2/( (√3)))[arctanu]_(−(1/( (√3)))) ^(1/( (√3))) =(2/( (√3))){((2π)/6)} =((2π)/(3(√3))) ⇒ A =((ln2)/3)+(5/6).((2π)/(3(√3)))−(3/4) ⇒A =((ln(2))/3) +((5π)/(9(√3)))−(3/4) B =Σ_(n=2) ^∞ (((−1)^n )/(3n−2)) =_(n=p+1) Σ_(p=1) ^∞ (((−1)^(p+1) )/(3p+1)) =−Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^n )/(3n+1)) =−(Σ_(n=0) ^∞ (((−1)^n )/(3n+1))−1)=1−Σ_(n=0) ^∞ (((−1)^n )/(3n+1)) =1−(((ln(2))/3)+((5π)/(9(√3)))) ⇒ S =A +B =((ln(2))/3)+((5π)/(9(√3)))−(3/4) +1−((ln2)/3)−((5π)/(9(√3))) ⇒ S =(1/4)

$$\mathrm{S}\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{3n}+\mathrm{1}}\:+\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{3n}−\mathrm{2}}\:=\mathrm{A}\:+\mathrm{B} \\ $$$$\mathrm{A}\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty\:} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{3n}+\mathrm{1}}\:−\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right)\:=−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}+\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{3n}+\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{let}\:\varphi\left(\mathrm{x}\right)\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{3n}+\mathrm{1}}\:\:\left(\mid\mathrm{x}\mid\leqslant\mathrm{1}\right) \\ $$$$\varphi^{'} \left(\mathrm{x}\right)\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{3n}} \:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }\:\Rightarrow\varphi\left(\mathrm{x}\right)\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{x}} \:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }\:+\mathrm{c}\:\:\left(\mathrm{c}=\varphi\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{0}\right) \\ $$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)}\:=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\:+\frac{\mathrm{bx}\:+\mathrm{c}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{a}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\:\:,\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow+\infty} \mathrm{xF}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{0}\:=\mathrm{a}+\mathrm{b}\:\Rightarrow\mathrm{b}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{0}\right)\:=\mathrm{1}\:=\mathrm{a}\:+\mathrm{c}\:\Rightarrow\mathrm{c}=\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\:=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\:\Rightarrow\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)}+\frac{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{x}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{A}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\left[\mathrm{ln}\mid\mathrm{x}+\mathrm{1}\mid\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\:\frac{\mathrm{2x}−\mathrm{1}−\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mathrm{dx}\:+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{ln2}}{\mathrm{3}}\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\left[\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\:\:+\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{6}}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}}\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{have} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} \:+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}}\:=_{\mathrm{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{t}} \frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}\:\:\:\int_{−\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}} ^{\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}} \:\:\:\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{dt} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\left[\mathrm{arctanu}\right]_{−\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}} ^{\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}} \:\:\:=\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\left\{\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{6}}\right\}\:=\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}}\:\Rightarrow\:\mathrm{A}\:=\frac{\mathrm{ln2}}{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{6}}.\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{A}\:=\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)}{\mathrm{3}}\:+\frac{\mathrm{5}\pi}{\mathrm{9}\sqrt{\mathrm{3}}}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}} \\ $$$$\mathrm{B}\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{3n}−\mathrm{2}}\:=_{\mathrm{n}=\mathrm{p}+\mathrm{1}} \:\:\:\sum_{\mathrm{p}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{p}+\mathrm{1}} }{\mathrm{3p}+\mathrm{1}} \\ $$$$=−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{3n}+\mathrm{1}}\:=−\left(\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{3n}+\mathrm{1}}−\mathrm{1}\right)=\mathrm{1}−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{3n}+\mathrm{1}} \\ $$$$=\mathrm{1}−\left(\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)}{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{5}\pi}{\mathrm{9}\sqrt{\mathrm{3}}}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{S}\:=\mathrm{A}\:+\mathrm{B}\:=\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)}{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{5}\pi}{\mathrm{9}\sqrt{\mathrm{3}}}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\:+\mathrm{1}−\frac{\mathrm{ln2}}{\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{5}\pi}{\mathrm{9}\sqrt{\mathrm{3}}}\:\:\Rightarrow\:\mathrm{S}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}} \\ $$

Commented by mathdave last updated on 28/Aug/20