Question Number 175815 by Shrinava last updated on 07/Sep/22
$$\mathrm{If}\:\:\:\mathrm{n}\geqslant\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{a}\:\mathrm{and}\:\mathrm{b}\:\mathrm{are}\:\mathrm{positive}\:\mathrm{real}\:\mathrm{numbers} \\ $$$$\mathrm{Then}\:\mathrm{prove}\:\mathrm{that}: \\ $$$$\frac{\mathrm{a}^{\boldsymbol{\mathrm{n}}} \:\:+\:\:\mathrm{b}^{\boldsymbol{\mathrm{n}}} }{\mathrm{a}\:\:+\:\:\mathrm{b}}\:\:\geqslant\:\:\frac{\mathrm{a}^{\boldsymbol{\mathrm{n}}−\mathrm{1}} \:\:+\:\:\mathrm{b}^{\boldsymbol{\mathrm{n}}−\mathrm{1}} }{\mathrm{2}} \\ $$
Answered by mahdipoor last updated on 07/Sep/22
$$\Leftrightarrow\:\mathrm{2}{a}^{{n}} +\mathrm{2}{b}^{{n}} \geqslant{a}^{{n}} +{b}^{{n}} +{ab}^{{n}−\mathrm{1}} +{ba}^{{n}−\mathrm{1}} \\ $$$$\Leftrightarrow\:{a}^{{n}} +{b}^{{n}} \geqslant{ab}^{{n}−\mathrm{1}} +{ba}^{{n}−\mathrm{1}} \: \\ $$$$\Leftrightarrow{a}^{{n}−\mathrm{1}} \left({a}−{b}\right)\geqslant{b}^{{n}−\mathrm{1}} \left({a}−{b}\right) \\ $$$$\Leftrightarrow\begin{cases}{\overset{{a}−{b}\geqslant\mathrm{0}} {\Leftrightarrow}\:\:{a}^{{n}−\mathrm{1}} \geqslant{b}^{{n}−\mathrm{1}} \:\Leftrightarrow\:{a}\geqslant{b}}\\{\overset{{a}−{b}\leqslant\mathrm{0}} {\Leftrightarrow}\:\:{a}^{{n}−\mathrm{1}} \leqslant{b}^{{n}−\mathrm{1}} \:\Leftrightarrow\:{a}\leqslant{b}}\end{cases} \\ $$
Answered by Cesar1994 last updated on 07/Sep/22
$$ \\ $$$$\left({a}+{b}\right)\left({a}^{{n}−\mathrm{1}} +{b}^{{n}−\mathrm{1}} \right)={a}^{{n}} +{b}^{{n}} +{ab}^{{n}−\mathrm{1}} +{a}^{{n}−\mathrm{1}} {b}\:…\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$${we}\:{proof}\:{that}\:{a}^{{n}} +{b}^{{n}} \geqslant{ab}^{{n}−\mathrm{1}} +{a}^{{n}−\mathrm{1}} {b}…\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$${a}^{{n}} −{a}^{{n}−\mathrm{1}} {b}+{b}^{{n}} −{ab}^{{n}−\mathrm{1}} ={a}^{{n}−\mathrm{1}} \left({a}−{b}\right)+{b}^{{n}−\mathrm{1}} \left({b}−{a}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\left({a}^{{n}−\mathrm{1}} −{b}^{{n}−\mathrm{1}} \right)\left({a}−{b}\right) \\ $$$$\mathrm{without}\:\mathrm{loss}\:\mathrm{of}\:\mathrm{generality},\:\mathrm{if}\:{a}\geqslant{b}>\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\:{a}^{{n}} −{a}^{{n}−\mathrm{1}} {b}+{b}^{{n}} −{ab}^{{n}−\mathrm{1}} =\left({a}^{{n}−\mathrm{1}} −{b}^{{n}−\mathrm{1}} \right)\left({a}−{b}\right)\geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\left({a}+{b}\right)\left({a}^{{n}−\mathrm{1}} +{b}^{{n}−\mathrm{1}} \right)\leqslant\mathrm{2}\left({a}^{{n}} +{b}^{{n}} \right),\:\mathrm{using}\:\mathrm{1}\:{and}\:\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow\frac{{a}^{{n}−\mathrm{1}} +{b}^{{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{2}}\leqslant\frac{{a}^{{n}} +{b}^{{n}} }{{a}+{b}}\:\:\:\blacksquare \\ $$