Question Number 110358 by bobhans last updated on 28/Aug/20
$${if}\:{positive}\:{integer}\:{x}\:{satisfies}\:{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}{x}+\mathrm{56}\:\equiv\mathrm{14}\:\left({mod}\:\mathrm{17}\right)\: \\ $$$$,\:{what}\:{is}\:{the}\:{minimum}\:{value}\:{of}\:{x}. \\ $$
Answered by john santu last updated on 28/Aug/20
$$\Leftrightarrow{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}{x}+\mathrm{4}\:+\:\mathrm{52}\:=\:\mathrm{14}\:\left({mod}\:\mathrm{17}\right) \\ $$$$\Leftrightarrow\:\left({x}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} \:=\:−\mathrm{38}\:\left({mod}\:\mathrm{17}\:\right) \\ $$$$\Leftrightarrow\:\left({x}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{13}\:\left({mod}\:\mathrm{17}\right) \\ $$$${now}\:{we}\:{need}\:{to}\:{see}\:{whether}\:\mathrm{13}\:{is}\: \\ $$$${square}\:{modulo}\:\mathrm{17}.\: \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{13}\:=\:\mathrm{13}+\:\mathrm{3}.\mathrm{17}\:=\:\mathrm{64}\:\left({mod}\:\mathrm{17}\right) \\ $$$${then}\:\Leftrightarrow\:\left({x}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{64}\:\left({mod}\:\mathrm{17}\right) \\ $$$$\Leftrightarrow\:\left({x}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{8}^{\mathrm{2}} \:\left({mod}\:\mathrm{17}\right)\: \\ $$$$\:\begin{cases}{{x}−\mathrm{2}=\mathrm{8}\:\left({mod}\:\mathrm{17}\right)}\\{{x}−\mathrm{2}=−\mathrm{8}\:\left({mod}\:\mathrm{17}\right)}\end{cases} \\ $$$$\begin{cases}{{x}=\mathrm{10}\:\left({mod}\:\mathrm{17}\right)}\\{{x}=\mathrm{11}\:\left({mod}\:\mathrm{17}\right)}\end{cases} \\ $$$${minimum}\:{value}\:{of}\:{x}\:{is}\:\mathrm{10} \\ $$