Question Number 110592 by Aina Samuel Temidayo last updated on 29/Aug/20
$$\mathrm{How}\:\mathrm{many}\:\mathrm{pairs}\:\mathrm{of}\:\mathrm{integers}\:\mathrm{x}\:\mathrm{and}\:\mathrm{y} \\ $$$$\mathrm{satisfy}\:\mathrm{the}\:\mathrm{equation}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{y}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{32}} \\ $$
Answered by Aziztisffola last updated on 29/Aug/20
$$\:\mathrm{if}\:\mathrm{x}=\mathrm{y}\:\Rightarrow\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{32}}\Rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{64} \\ $$$$\:\left(\mathrm{x};\mathrm{y}\right)=\left(\mathrm{64};\mathrm{64}\right)\:\in\mathrm{S}\:\mathrm{then}\:\mathrm{S}\neq\varnothing \\ $$$$\mathrm{there}\:\mathrm{is}\:\mathrm{at}\:\mathrm{least}\:\mathrm{one}\:\mathrm{solution}.\: \\ $$
Answered by mr W last updated on 29/Aug/20
$$\frac{\mathrm{1}}{{y}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{32}}−\frac{\mathrm{1}}{{x}}=\frac{{x}−\mathrm{32}}{\mathrm{32}{x}} \\ $$$${y}=\frac{\mathrm{32}{x}}{{x}−\mathrm{32}} \\ $$$${x}=\mathrm{33}\:\Rightarrow{y}=\mathrm{1056} \\ $$$${x}=\mathrm{34}\:\Rightarrow{y}=\mathrm{544} \\ $$$${x}=\mathrm{36}\:\Rightarrow{y}=\mathrm{288} \\ $$$${x}=\mathrm{40}\:\Rightarrow{y}=\mathrm{160} \\ $$$${x}=\mathrm{48}\:\Rightarrow{y}=\mathrm{96} \\ $$$${x}=\mathrm{64}\:\Rightarrow{y}=\mathrm{64} \\ $$$${x}=\mathrm{31}\:\Rightarrow{y}=−\mathrm{993} \\ $$$${x}=\mathrm{30}\:\Rightarrow{y}=−\mathrm{480} \\ $$$${x}=\mathrm{28}\:\Rightarrow{y}=−\mathrm{224} \\ $$$${x}=\mathrm{24}\:\Rightarrow{y}=−\mathrm{96} \\ $$$${x}=\mathrm{16}\:\Rightarrow{y}=−\mathrm{32} \\ $$$$…… \\ $$
Commented by Aina Samuel Temidayo last updated on 29/Aug/20
$$\mathrm{Thanks}\:\mathrm{but}\:\mathrm{how}\:\mathrm{did}\:\mathrm{you}\:\mathrm{know}\:\mathrm{the}\:\mathrm{values}\:\mathrm{of}\:\left(\mathrm{x},\mathrm{y}\right) \\ $$$$\mathrm{that}\:\mathrm{fits}\:\mathrm{the}\:\mathrm{equation}?\:\mathrm{Your}\:\mathrm{work}\:\mathrm{is} \\ $$$$\mathrm{not}\:\mathrm{well}\:\mathrm{explanatory}. \\ $$
Commented by mr W last updated on 29/Aug/20
$${if}\:{x}−\mathrm{32}\:{divides}\:\mathrm{32},\:{then}\:{x}\:{is}\:{ok}. \\ $$$$\Rightarrow{x}−\mathrm{32}=\pm\mathrm{1},\pm\mathrm{2},\pm\mathrm{4},\pm\mathrm{8},\pm\mathrm{16},\pm\mathrm{32} \\ $$
Answered by floor(10²Eta[1]) last updated on 29/Aug/20
$$\mathrm{go}\:\mathrm{see}\:\mathrm{my}\:\mathrm{answer}\:\mathrm{on}\:\mathrm{Q}.\mathrm{103093} \\ $$$$\mathrm{it}'\mathrm{s}\:\mathrm{the}\:\mathrm{same}\:\mathrm{logic} \\ $$
Commented by Aina Samuel Temidayo last updated on 29/Aug/20
$$\mathrm{Thanks}. \\ $$