Question Number 45632 by maxmathsup by imad last updated on 14/Oct/18
$$\left.\mathrm{1}\right){find}\:\int\:{ln}\left(\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{3}} \right){dx} \\ $$$$\left.\mathrm{2}\right)\:{calculate}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} {ln}\left(\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{3}} \right){ex} \\ $$
Commented by maxmathsup by imad last updated on 16/Oct/18
$${let}\:{I}\:=\:\int\:{ln}\left(\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{3}} \right){dx}\:\:{by}\:{parts}\: \\ $$$${I}\:=\:{x}\:{ln}\left(\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{3}} \right)−\:\int\:{x}\:\frac{\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{3}} }{dx}\:={xln}\left(\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{3}} \right)−\mathrm{3}\:\int\:\:\frac{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{3}} }{dx} \\ $$$$={xln}\left(\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{3}} \right)−\mathrm{3}{x}\:\:+\mathrm{3}\:\int\:\:\:\frac{{dx}}{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{3}} }\:\:{let}\:{decompose}\:{F}\left({x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{3}} } \\ $$$${F}\left({x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}\right)}\:=\frac{{a}}{{x}+\mathrm{1}}\:+\frac{{bx}\:+{c}}{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}} \\ $$$${a}\:={lim}_{{x}\rightarrow−\mathrm{1}} \left({x}+\mathrm{1}\right){F}\left({x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}} \\ $$$${lim}_{{x}\rightarrow+\infty} {xF}\left({x}\right)=\mathrm{0}\:={a}+{b}\:\Rightarrow{b}=−{a}\:\Rightarrow{F}\left({x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}\left({x}+\mathrm{1}\right)}\:+\frac{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}{x}\:+{c}}{{x}^{\mathrm{2}} −{x}\:+\mathrm{1}} \\ $$$${F}\left(\mathrm{0}\right)\:=\mathrm{1}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\:+{c}\:\Rightarrow{c}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\:\Rightarrow{F}\left({x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}\left({x}+\mathrm{1}\right)}\:+\frac{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}{x}\:+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}}{{x}^{\mathrm{2}} −{x}\:+\mathrm{1}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{3}{F}\left({x}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{{x}+\mathrm{1}}\:+\frac{−{x}+\mathrm{2}}{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}}\:\Rightarrow\int\:\mathrm{3}{F}\left({x}\right){dx}={ln}\mid{x}+\mathrm{1}\mid−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\:\:\frac{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}−\mathrm{3}}{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}} \\ $$$$={ln}\mid{x}+\mathrm{1}\mid−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{ln}\mid{x}^{\mathrm{2}} −{x}\:+\mathrm{1}\mid+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\int\:\:\frac{{dx}}{{x}^{\mathrm{2}} −{x}\:+\mathrm{1}}\:{but} \\ $$$$\int\:\:\:\frac{{dx}}{{x}^{\mathrm{2}} −{x}\:+\mathrm{1}}\:=\int\:\:\:\frac{{dx}}{\left({x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} \:+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}}\:=_{{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}{u}} \:\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}\:\:\int\:\:\:\:\frac{\mathrm{1}}{{u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\:\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}{du} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\:\int\:\:\frac{{du}}{\mathrm{1}+{u}^{\mathrm{2}} }\:=\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\:{arctan}\left(\frac{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)\:\Rightarrow\int\:\mathrm{3}{F}\left({x}\right){dx} \\ $$$$={ln}\mid{x}+\mathrm{1}\mid−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{ln}\left({x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}\right)\:+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\:\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}{arctan}\left(\frac{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\int\:\:\:\frac{{dx}}{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{3}} }\:={xln}\left(\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{3}} \right)\:−\mathrm{3}{x}\:\:+{ln}\mid{x}+\mathrm{1}\mid−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{ln}\left({x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}\right)\:+\sqrt{\mathrm{3}}{arctan}\left(\frac{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)\:+{c} \\ $$
Commented by maxmathsup by imad last updated on 16/Oct/18
$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\:\:\frac{{dx}}{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{3}} }\:=\left[{xln}\left(\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{3}} \right)−\mathrm{3}{x}\:+{ln}\frac{\mid{x}+\mathrm{1}\mid}{\:\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}}}\:+\sqrt{\mathrm{3}}{arctan}\left(\frac{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \\ $$$$={ln}\left(\mathrm{2}\right)−\mathrm{3}\:+{ln}\left(\mathrm{2}\right)\:+\sqrt{\mathrm{3}}\:{arctan}\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)\:+\sqrt{\mathrm{3}}{arctan}\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right) \\ $$$$=\mathrm{2}{ln}\left(\mathrm{2}\right)−\mathrm{3}\:+\mathrm{2}\:\sqrt{\mathrm{3}}\frac{\pi}{\mathrm{6}}\:=\mathrm{2}{ln}\left(\mathrm{2}\right)\:+\frac{\pi\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{3}}\:−\mathrm{3}\:. \\ $$