Question Number 111428 by Dwaipayan Shikari last updated on 03/Sep/20
$$\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{n}^{\mathrm{3}} }{{n}!} \\ $$
Commented by Dwaipayan Shikari last updated on 03/Sep/20
![Σ_(n=1) ^∞ (n^3 /(n!))=(1/1)+(2^3 /(2!))+(3^3 /(3!))+... =1+(2^2 /(1!))+(3^2 /(2!))+(4^2 /(3!))+... =1+Σ_(n=1) ^∞ (((n+1)^2 )/(n!)) [Σ^∞ (n^2 /(n!))=(1^2 /(1!))+(2^2 /(2!))+...=1+(2/(1!))+(3/(2!))+...=(1+(1/(1!))+..)+(1+(1/(1!))+..) =2e =1+Σ_(n=1) ^∞ (n^2 /(n!))+Σ_(n=1) ^∞ ((2n)/(n!))+Σ_(n=1) ^∞ (1/(n!)) [Σ_(n=1) ^∞ ((2n)/(n!))=2e ,Σ_(n=1) ^∞ (1/(n!))=e−1] =1+2e+2e+e−1 =5e](https://www.tinkutara.com/question/Q111444.png)
$$ \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{n}^{\mathrm{3}} }{{n}!}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{2}!}+\frac{\mathrm{3}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}!}+… \\ $$$$=\mathrm{1}+\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}!}+\frac{\mathrm{3}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}!}+\frac{\mathrm{4}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{3}!}+… \\ $$$$=\mathrm{1}+\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{{n}!}\:\:\left[\overset{\infty} {\sum}\frac{{n}^{\mathrm{2}} }{{n}!}=\frac{\mathrm{1}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}!}+\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}!}+…=\mathrm{1}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{1}!}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}!}+…=\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}!}+..\right)+\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}!}+..\right)\right. \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{2}{e} \\ $$$$=\mathrm{1}+\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{n}^{\mathrm{2}} }{{n}!}+\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{2}{n}}{{n}!}+\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}!}\:\:\:\:\left[\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{2}{n}}{{n}!}=\mathrm{2}{e}\:\:,\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}!}={e}−\mathrm{1}\right] \\ $$$$=\mathrm{1}+\mathrm{2}{e}+\mathrm{2}{e}+{e}−\mathrm{1} \\ $$$$=\mathrm{5}{e} \\ $$