Question Number 177579 by mr W last updated on 07/Oct/22
$${if}\:{x}^{\mathrm{3}} +{y}^{\mathrm{3}} +\frac{{x}+{y}}{\mathrm{4}}=\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{2}},\:{find}\:{maximum} \\ $$$${value}\:{of}\:{x}+{y}. \\ $$
Answered by TheHoneyCat last updated on 07/Oct/22
$$\mathrm{if}\:{x}={y}+\epsilon \\ $$$$\mathrm{15}/\mathrm{2}={x}^{\mathrm{3}} +{y}^{\mathrm{3}} +\frac{{x}+{y}}{\mathrm{4}} \\ $$$$=\left({y}+\epsilon\right)^{\mathrm{3}} +{y}^{\mathrm{3}} +\frac{\mathrm{2}{y}+\epsilon}{\mathrm{4}} \\ $$$$={y}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}{y}^{\mathrm{2}} \epsilon+\mathrm{3}{y}\epsilon^{\mathrm{2}} +\epsilon^{\mathrm{3}} +{y}^{\mathrm{3}} +\frac{\mathrm{2}{y}+\epsilon}{\mathrm{4}} \\ $$$$={y}^{\mathrm{3}} +{y}^{\mathrm{3}} +\frac{{y}+{y}}{\mathrm{4}}\:+\:\epsilon\left(\mathrm{3}{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}/\mathrm{4}\right)\:+\epsilon^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{3}{y}\right) \\ $$$$ \\ $$$${The}\:{function}\:{in}\:{y}\:{beeing}\:{monotonous} \\ $$$$\mathrm{This}\:\mathrm{shows}\:\mathrm{that}\:\epsilon\:\mathrm{needs}\:\mathrm{to}\:\mathrm{be}\:\mathrm{decreese}\:\left(\mathrm{when}\right. \\ $$$$\left.{y}\:\mathrm{is}\:\mathrm{increesed}\right) \\ $$$$\mathrm{if}\:\mathrm{you}\:\mathrm{are}\:\mathrm{to}\:\mathrm{maintain}\:\mathrm{the}\:\mathrm{equation}. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Basicaly}\:“{x}+{y}''\:\mathrm{is}\:\mathrm{always}\:\mathrm{greater}\:\mathrm{when}\:\epsilon=\mathrm{0}. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{So}\:\mathrm{the}\:\mathrm{problem}\:\mathrm{boils}\:\mathrm{down}\:\mathrm{to}\:\mathrm{finding}\:\mathrm{the}\: \\ $$$$\mathrm{max}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:\mathrm{2}{x}\: \\ $$$$\mathrm{when} \\ $$$$\mathrm{2}{x}^{\mathrm{3}} +\frac{{x}}{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{4}{x}^{\mathrm{3}} +{x}=\mathrm{15} \\ $$$$\Leftrightarrow\left({x}−\mathrm{3}/\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{6}{x}+\mathrm{10}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{Since}\:\mathrm{6}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}×\mathrm{10}<\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{The}\:\mathrm{only}\:\mathrm{possible}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{is}\:\mathrm{thus}:\: \\ $$$${x}=\mathrm{3}/\mathrm{2} \\ $$$$ \\ $$$$\left(\mathrm{one}\:\mathrm{can}\:\mathrm{verify}\:\mathrm{that}\:\mathrm{it}\:\mathrm{is}\:\mathrm{not}\:\mathrm{a}\:\mathrm{minimum}\right. \\ $$$$\left.\mathrm{by}\:\mathrm{comparing}\:\mathrm{to}\:\mathrm{values}\:\mathrm{for}\:{x}=\mathrm{0}\:\mathrm{and}\:\mathrm{y}\neq\mathrm{0}…\right) \\ $$
Commented by mr W last updated on 07/Oct/22
$${thanks}\:{sir}! \\ $$
Answered by mr W last updated on 07/Oct/22
$${let}\:{t}={x}+{y}>\mathrm{0},\:{s}={xy}\leqslant\frac{\left({x}+{y}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}}=\frac{{t}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}} \\ $$$$\left({x}+{y}\right)^{\mathrm{3}} −\mathrm{3}{xy}\left({x}+{y}\right)+\frac{{x}+{y}}{\mathrm{4}}=\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{2}} \\ $$$${t}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3}{st}+\frac{{t}}{\mathrm{4}}=\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{2}} \\ $$$${t}^{\mathrm{3}} +\frac{{t}}{\mathrm{4}}=\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{2}}+\mathrm{3}{st}\leqslant\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{3}{t}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{4}} \\ $$$$\frac{{t}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{4}}+\frac{{t}}{\mathrm{4}}\leqslant\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{2}} \\ $$$${t}^{\mathrm{3}} +{t}\leqslant\mathrm{30} \\ $$$${t}\left({t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\leqslant\mathrm{30} \\ $$$$\Rightarrow{t}\leqslant\mathrm{3}\:\Rightarrow\left({x}+{y}\right)_{{max}} =\mathrm{3} \\ $$