Question Number 46552 by peter frank last updated on 28/Oct/18
Commented by MJS last updated on 28/Oct/18
$$\left.{b}\right)\:\mathrm{is}\:\mathrm{not}\:\mathrm{clear}.\:\mathrm{what}\:\mathrm{does}\:\mathrm{this}\:\mathrm{mean}\:“\mathrm{if}\:\left(\mathrm{it}?\right) \\ $$$$\mathrm{is}\:\mathrm{parallel}\:\mathrm{to}\:{y}=\mathrm{2}{x}+\mathrm{3}\:\mathrm{at}\:\begin{pmatrix}{\mathrm{0}}\\{\mathrm{1}}\end{pmatrix}''?\:\mathrm{if}\:\begin{pmatrix}{\mathrm{0}}\\{\mathrm{1}}\end{pmatrix}\:\mathrm{is}\:\mathrm{a}\:\mathrm{point} \\ $$$$\mathrm{on}\:\mathrm{the}\:\mathrm{curve}\:\begin{pmatrix}{\mathrm{0}}\\{\mathrm{4}}\end{pmatrix}\:\mathrm{cannot}\:\mathrm{be}\:\mathrm{or}\:\mathrm{vice}\:\mathrm{versa}. \\ $$$$\mathrm{please}\:\mathrm{check}\:\mathrm{this} \\ $$
Commented by peter frank last updated on 28/Oct/18
$$\mathrm{yes}\:\mathrm{sir}!\:\mathrm{definitely}\:\mathrm{problem}\:\mathrm{is}\:\mathrm{not}\:\mathrm{clear} \\ $$
Answered by MJS last updated on 28/Oct/18
$${f}\left({x}\right)={x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{4} \\ $$$$\mathrm{in}\:\mathrm{turning}\:\mathrm{points}\:{f}''\left({x}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{polynomes}\:\mathrm{of}\:\mathrm{3}^{\mathrm{rd}} \:\mathrm{degree}\:\mathrm{have}\:\mathrm{1}\:\mathrm{turning}\:\mathrm{point} \\ $$$${f}''\left({x}\right)=\mathrm{6}{x}−\mathrm{6} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{turning}\:\mathrm{point}\:{T}=\begin{pmatrix}{\mathrm{1}}\\{\mathrm{3}}\end{pmatrix} \\ $$$$\mathrm{checking}\:\mathrm{the}\:\mathrm{tangent}\:\mathrm{in}\:\mathrm{this}\:\mathrm{point} \\ $$$${f}'\left({x}\right)=\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6}{x}+\mathrm{1} \\ $$$${f}'\left(\mathrm{1}\right)=−\mathrm{2}\:\Rightarrow\:\mathrm{tangent}\:\mathrm{decreasing}\:\Rightarrow \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{curvature}\:\mathrm{negative}\:\left(\mathrm{clockwise}\right)\:\mathrm{for}\:{x}<\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\mathrm{curvature}\:\mathrm{positive}\:\left(\mathrm{counterclockwise}\right)\:\mathrm{for}\:{x}>\mathrm{1} \\ $$