Question Number 4704 by lakshaysethi039 last updated on 25/Feb/16
$${If}\:{a}_{\mathrm{1}} ,{a}_{\mathrm{2}} ,………{a}_{{n}} {be}\:{an}\:{arithmetic}\:{progression}, \\ $$$${then}\:{show}\:{that} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{{a}_{\mathrm{1}} {a}_{{n}} }\:+\:\frac{\mathrm{1}}{{a}_{\mathrm{2}} {a}_{{n}−\mathrm{1}} }\:+\:\frac{\mathrm{1}}{{a}_{\mathrm{3}} {a}_{{n}−\mathrm{2}} }\:+………….+\frac{\mathrm{1}}{{a}_{{n}} {a}_{\mathrm{1}} }\: \\ $$$$=\:\frac{\mathrm{2}}{{a}_{\mathrm{1}} +{a}_{{n}} }\left(\frac{\mathrm{1}}{{a}_{\mathrm{1}} }\:+\:\frac{\mathrm{1}}{{a}_{\mathrm{2}} }\:+\:……+\frac{\mathrm{1}}{{a}_{{n}} }\right) \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$
Commented by Yozzii last updated on 25/Feb/16
$${Interesting}\:{property}\:{of}\:{A}.{Ps}\:{of}\: \\ $$$${non}−{zero}\:{terms}.\:{I}'{ve}\:{never}\:{seen}\:{this} \\ $$$${before}. \\ $$
Answered by Yozzii last updated on 25/Feb/16
$${Let}\:{S}_{{n}} =\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{a}_{{i}} ^{−\mathrm{1}} \:{and}\:{J}=\frac{\mathrm{1}}{{a}_{\mathrm{1}} {a}_{{n}} }+\frac{\mathrm{1}}{{a}_{\mathrm{2}} {a}_{{n}−\mathrm{1}} }+\frac{\mathrm{1}}{{a}_{\mathrm{3}} {a}_{{n}−\mathrm{2}} }…+\frac{\mathrm{1}}{{a}_{{n}} {a}_{\mathrm{1}} }. \\ $$$${First}\:{calculate}\:{sums}\:{that}\:{yield}\:{the}\: \\ $$$${denominators}\:{of}\:{terms}\:{of}\:{J}\:{in}\:{terms}\:{of}\:{a}_{{i}} . \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)\:{a}_{\mathrm{1}} ^{−\mathrm{1}} +{a}_{{n}} ^{−\mathrm{1}} =\frac{{a}_{\mathrm{1}} +{a}_{{n}} }{{a}_{\mathrm{1}} {a}_{{n}} } \\ $$$$\left(\mathrm{2}\right)\:{a}_{\mathrm{2}} ^{−\mathrm{1}} +{a}_{{n}−\mathrm{1}} ^{−\mathrm{1}} =\frac{{a}_{\mathrm{2}} +{a}_{{n}−\mathrm{1}} }{{a}_{\mathrm{2}} {a}_{{n}−\mathrm{1}} } \\ $$$$\left(\mathrm{3}\right)\:{a}_{\mathrm{3}} ^{−\mathrm{1}} +{a}_{{n}−\mathrm{2}} ^{−\mathrm{1}} =\frac{{a}_{\mathrm{3}} +{a}_{{n}−\mathrm{2}} }{{a}_{\mathrm{3}} {a}_{{n}−\mathrm{2}} } \\ $$$$\left(\mathrm{4}\right)\:{a}_{\mathrm{4}} ^{−\mathrm{1}} +{a}_{{n}−\mathrm{3}} ^{−\mathrm{1}} =\frac{{a}_{\mathrm{4}} +{a}_{{n}−\mathrm{3}} }{{a}_{\mathrm{4}} {a}_{{n}−\mathrm{3}} } \\ $$$$\vdots \\ $$$$\left({n}\right)\:{a}_{{n}} ^{−\mathrm{1}} +{a}_{\mathrm{1}} ^{−\mathrm{1}} =\frac{{a}_{{n}} +{a}_{\mathrm{1}} }{{a}_{\mathrm{1}} {a}_{{n}} } \\ $$$${Adding}\:{lines}\:\left(\mathrm{1}\right)\rightarrow\left({n}\right)\:{we}\:{see}\:{that}\: \\ $$$${all}\:{a}_{{i}} ^{−\mathrm{1}} \:{are}\:{added}\:{twice}.\:{Hence},\:{we}\:{may} \\ $$$${write}\: \\ $$$$\mathrm{2}\left(\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{a}_{{i}} ^{−\mathrm{1}} \right)=\frac{{a}_{\mathrm{1}} +{a}_{{n}} }{{a}_{\mathrm{1}} {a}_{{n}} }+\frac{{a}_{\mathrm{2}} +{a}_{{n}−\mathrm{1}} }{{a}_{\mathrm{2}} {a}_{{n}−\mathrm{1}} }+\frac{{a}_{\mathrm{3}} +{a}_{{n}−\mathrm{2}} }{{a}_{\mathrm{3}} {a}_{{n}−\mathrm{2}} }+\frac{{a}_{\mathrm{4}} +{a}_{{n}−\mathrm{3}} }{{a}_{\mathrm{4}} {a}_{{n}−\mathrm{3}} }+…+\frac{{a}_{{n}} +{a}_{\mathrm{1}} }{{a}_{\mathrm{1}} {a}_{{n}} }.\:\:\left(\ast\right) \\ $$$${We}\:{are}\:{given}\:{that}\:\left\{{a}_{{i}} \right\}_{{i}=\mathrm{1}} ^{{n}} \:{is}\:{an}\: \\ $$$${arithmetic}\:{progression}.\:{Therefore}, \\ $$$${a}_{\mathrm{2}} −{a}_{\mathrm{1}} ={a}_{\mathrm{3}} −{a}_{\mathrm{2}} ={a}_{\mathrm{4}} −{a}_{\mathrm{3}} =…={a}_{{n}−\mathrm{2}} −{a}_{{n}−\mathrm{3}} ={a}_{{n}−\mathrm{1}} −{a}_{{n}−\mathrm{2}} ={a}_{{n}} −{a}_{{n}−\mathrm{1}} . \\ $$$${Using}\:{these}\:{equations}\:{we}\:{obtain} \\ $$$${a}_{\mathrm{2}} −{a}_{\mathrm{1}} ={a}_{{n}} −{a}_{{n}−\mathrm{1}\:} ,\:{or}\:{a}_{\mathrm{1}} +{a}_{{n}} ={a}_{\mathrm{2}} +{a}_{{n}−\mathrm{1}} . \\ $$$${Similarly}\:{we}\:{have}\:{a}_{{n}−\mathrm{1}} −{a}_{{n}−\mathrm{2}} ={a}_{\mathrm{3}} −{a}_{\mathrm{2}} \\ $$$${so}\:{that}\:{a}_{{n}−\mathrm{2}} +{a}_{\mathrm{3}} ={a}_{{n}−\mathrm{1}} +{a}_{\mathrm{2}} ={a}_{\mathrm{1}} +{a}_{{n}} . \\ $$$${Also},\:{a}_{{n}−\mathrm{2}} −{a}_{{n}−\mathrm{3}} ={a}_{\mathrm{4}} −{a}_{\mathrm{3}} \\ $$$$\Rightarrow{a}_{\mathrm{4}} +{a}_{{n}−\mathrm{3}} ={a}_{\mathrm{3}} +{a}_{{n}−\mathrm{2}} ={a}_{\mathrm{1}} +{a}_{{n}} . \\ $$$${Upon}\:{repeated}\:{use}\:{of}\:{this}\:{process}\:{we} \\ $$$${obtain}\:{the}\:{numerators}\:{of}\:{the}\:{terms}\:{on} \\ $$$${the}\:{r}.{h}.{s}\:{of}\:\left(\ast\right)\:{all}\:{being}\:{equal}\:{to}\:{a}_{\mathrm{1}} +{a}_{{n}} . \\ $$$$\therefore\left({a}_{\mathrm{1}} +{a}_{{n}} \right)\left\{\frac{\mathrm{1}}{{a}_{\mathrm{1}} {a}_{{n}} }+\frac{\mathrm{1}}{{a}_{\mathrm{2}} {a}_{{n}−\mathrm{1}} }+\frac{\mathrm{1}}{{a}_{\mathrm{3}} {a}_{{n}−\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{{a}_{\mathrm{4}} {a}_{{n}−\mathrm{3}} }+…+\frac{\mathrm{1}}{{a}_{\mathrm{1}} {a}_{{n}} }\right\}=\mathrm{2}{S}_{{n}} \\ $$$${or}\:\left({a}_{\mathrm{1}} +{a}_{{n}} \right){J}=\mathrm{2}{S}_{{n}} \\ $$$$\Rightarrow{J}=\frac{\mathrm{2}}{{a}_{\mathrm{1}} +{a}_{{n}} }{S}_{{n}} \:\:\:\: \\ $$$${This}\:{is}\:{valid}\:{iff}\:{a}_{{i}} \neq\mathrm{0}\:{for}\:\mathrm{1}\leqslant{i}\leqslant{n}.\:\:\:\:\:\Box \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$