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solve-lim-x-2x-3-x-2-2-2x-3-4x-2-1-x-

Tinku Tara 0 Comments
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Question Number 112974 by bemath last updated on 10/Sep/20
solve lim_(x→∞) (((2x^3 −x^2 +2)/(2x^3 −4x^2 +1)))^x
$$\mathrm{solve}\:\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\left(\frac{\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}}{\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{4x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\right)^{\mathrm{x}} \\ $$
Answered by john santu last updated on 10/Sep/20
Answered by mathmax by abdo last updated on 11/Sep/20
let f(x) =(((2x^3 −x^2 +2)/(2x^3 −4x^2 +1)))^x ⇒f(x) =(((1−(1/(2x))+(1/x^3 ))/(1−(2/x)+(1/(2x^3 )))))^x =e^(xln(((1−(1/(2x))+(1/x^3 ))/(1−(2/x)+(1/(2x^3 )))))) we do the changement (1/x) =t ⇒ f(x) =f((1/t)) =e^((1/t)ln(((1−(t/2)+t^3 )/(1−2t +(1/2)t^3 )))) (t→0) =e^((1/t)ln(((1−2t+(t^3 /2)−(t/2)+t^3 +2t−(t^3 /2))/(1−2t +(t^3 /2))))) =e^((1/t)ln(1+(((t^3 /2) +(3/2)t)/(1−2t+(t^3 /2))))) ∼e^((1/t)((((t^3 /2)+(3/2)t)/(1−2t +(t^3 /2))))) =e^((t^2 +3)/(2−4t +t^3 )) →e^(3/2) (t→0) ⇒lim_(x→∞) f(x) =e(√e)
$$\mathrm{let}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\left(\frac{\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2}}{\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{4x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\right)^{\mathrm{x}} \:\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\left(\frac{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2x}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} }}\right)^{\mathrm{x}} \\ $$$$=\mathrm{e}^{\mathrm{xln}\left(\frac{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2x}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} }}\right)} \:\:\mathrm{we}\:\mathrm{do}\:\mathrm{the}\:\mathrm{changement}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\:=\mathrm{t}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{f}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}\right)\:=\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{2}}+\mathrm{t}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{1}−\mathrm{2t}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{t}^{\mathrm{3}} }\right)} \:\:\:\:\left(\mathrm{t}\rightarrow\mathrm{0}\right) \\ $$$$=\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{1}−\mathrm{2t}+\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{2}}+\mathrm{t}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{2t}−\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{2}}}{\mathrm{1}−\mathrm{2t}\:+\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{2}}}\right)} \:=\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\frac{\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{2}}\:+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\mathrm{t}}{\mathrm{1}−\mathrm{2t}+\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{2}}}\right)} \\ $$$$\sim\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}\left(\frac{\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\mathrm{t}}{\mathrm{1}−\mathrm{2t}\:+\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{2}}}\right)} \:=\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3}}{\mathrm{2}−\mathrm{4t}\:+\mathrm{t}^{\mathrm{3}} }} \:\rightarrow\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}} \:\:\left(\mathrm{t}\rightarrow\mathrm{0}\right)\:\Rightarrow\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow\infty} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{e}\sqrt{\mathrm{e}} \\ $$

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