Question Number 113005 by Aina Samuel Temidayo last updated on 10/Sep/20
$$\mathrm{Two}\:\mathrm{different}\:\mathrm{two}−\mathrm{digit}\:\mathrm{natural} \\ $$$$\mathrm{numbers}\:\mathrm{are}\:\mathrm{written}\:\mathrm{beside}\:\mathrm{each} \\ $$$$\mathrm{other}\:\mathrm{such}\:\mathrm{that}\:\mathrm{the}\:\mathrm{larger}\:\mathrm{number} \\ $$$$\mathrm{is}\:\mathrm{written}\:\mathrm{on}\:\mathrm{the}\:\mathrm{left}.\:\mathrm{When}\:\mathrm{the} \\ $$$$\mathrm{absolute}\:\mathrm{difference}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{two} \\ $$$$\mathrm{numbers}\:\mathrm{is}\:\mathrm{subtracted}\:\mathrm{from}\:\mathrm{the} \\ $$$$\mathrm{four}−\mathrm{digit}\:\mathrm{number}\:\mathrm{so}\:\mathrm{formed},\:\mathrm{the} \\ $$$$\mathrm{number}\:\mathrm{obtained}\:\mathrm{is}\:\mathrm{5481}.\:\mathrm{What}\:\mathrm{is}\:\mathrm{the} \\ $$$$\mathrm{sum}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{two}−\mathrm{digit}\:\mathrm{numbers}? \\ $$
Answered by floor(10²Eta[1]) last updated on 11/Sep/20
$$\mathrm{n}_{\mathrm{1}} =\mathrm{10a}+\mathrm{b} \\ $$$$\mathrm{n}_{\mathrm{2}} =\mathrm{10c}+\mathrm{d} \\ $$$$\mathrm{n}_{\mathrm{1}} >\mathrm{n}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{n}_{\mathrm{3}} =\mathrm{abcd}=\mathrm{10}^{\mathrm{3}} \mathrm{a}+\mathrm{10}^{\mathrm{2}} \mathrm{b}+\mathrm{10c}+\mathrm{d}=\mathrm{100n}_{\mathrm{1}} +\mathrm{n}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{n}_{\mathrm{3}} −\left(\mathrm{n}_{\mathrm{1}} −\mathrm{n}_{\mathrm{2}} \right)=\mathrm{5481} \\ $$$$\mathrm{n}_{\mathrm{1}} +\mathrm{n}_{\mathrm{2}} =? \\ $$$$\mathrm{100n}_{\mathrm{1}} +\mathrm{n}_{\mathrm{2}} −\mathrm{n}_{\mathrm{1}} +\mathrm{n}_{\mathrm{2}} =\mathrm{99n}_{\mathrm{1}} +\mathrm{2n}_{\mathrm{2}} =\mathrm{5481} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{n}_{\mathrm{1}} \:\mathrm{is}\:\mathrm{odd}\therefore\mathrm{b}\in\left\{\mathrm{1},\:\mathrm{3},\:\mathrm{5},\:\mathrm{7},\:\mathrm{9}\right\} \\ $$$$\mathrm{since}\:\mathrm{n}_{\mathrm{2}} \geqslant\mathrm{10}: \\ $$$$\mathrm{5481}=\mathrm{99n}_{\mathrm{1}} +\mathrm{2n}_{\mathrm{2}} \geqslant\mathrm{99n}_{\mathrm{1}} +\mathrm{20} \\ $$$$\mathrm{n}_{\mathrm{1}} \leqslant\mathrm{55} \\ $$$$\mathrm{n}_{\mathrm{2}} \leqslant\mathrm{98}: \\ $$$$\mathrm{5481}=\mathrm{99n}_{\mathrm{1}} +\mathrm{2n}_{\mathrm{2}} \leqslant\mathrm{99n}_{\mathrm{1}} +\mathrm{196} \\ $$$$\mathrm{53}.\mathrm{3}\leqslant\mathrm{n}_{\mathrm{1}} \Rightarrow\mathrm{n}_{\mathrm{1}} \geqslant\mathrm{54} \\ $$$$\mathrm{but}\:\mathrm{we}\:\mathrm{know}\:\mathrm{that}\:\mathrm{n}_{\mathrm{1}} \:\mathrm{is}\:\mathrm{odd}\:\mathrm{so}\:\mathrm{the}\: \\ $$$$\mathrm{only}\:\mathrm{possible}\:\mathrm{case}\:\mathrm{is}\:\mathrm{n}_{\mathrm{1}} =\mathrm{55} \\ $$$$\mathrm{n}_{\mathrm{1}} =\mathrm{55}\Rightarrow\mathrm{5445}+\mathrm{2n}_{\mathrm{2}} =\mathrm{5481} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{n}_{\mathrm{2}} =\mathrm{18} \\ $$$$\mathrm{so}\:\mathrm{n}_{\mathrm{1}} +\mathrm{n}_{\mathrm{2}} =\mathrm{73} \\ $$
Commented by Aina Samuel Temidayo last updated on 11/Sep/20
$$\mathrm{Ok}.\:\mathrm{Thanks}. \\ $$