Question Number 113464 by bemath last updated on 13/Sep/20
$$\:\left({x}^{\mathrm{2}} \:\frac{{d}^{\mathrm{2}} {y}}{{dx}^{\mathrm{2}} }\:+{x}\:\frac{{dy}}{{dx}}\:+\:\mathrm{1}\right).{y}\:=\:\mathrm{0} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 13/Sep/20
$$\mathrm{y}=\mathrm{0}\:\mathrm{is}\:\mathrm{soluton}\:\mathrm{if}\:\mathrm{y}\neq\mathrm{0}\:\mathrm{weget}\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{y}^{''} \:+\mathrm{x}\:\mathrm{y}^{'} \:+\mathrm{1}\:=\mathrm{0}\:\:\mathrm{let}\:\mathrm{y}^{'} \:=\mathrm{z}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{z}^{'} \:+\mathrm{xz}\:+\mathrm{1}\:=\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{z}^{'} \:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\mathrm{z}\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:\:\:\left(\mathrm{e}\right) \\ $$$$\mathrm{h}\rightarrow\mathrm{z}^{'} \:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\mathrm{z}\:=\mathrm{0}\Rightarrow\frac{\mathrm{z}^{'} }{\mathrm{z}}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\:\Rightarrow\mathrm{ln}\mid\mathrm{z}\mid=−\mathrm{ln}\mid\mathrm{x}\mid\:+\mathrm{c}\:\Rightarrow\mathrm{z}\:=\frac{\mathrm{k}}{\mathrm{x}} \\ $$$$\mathrm{lagrange}\:\mathrm{method}\rightarrow\mathrm{z}^{'} \:=\frac{\mathrm{k}^{'} }{\mathrm{x}}−\frac{\mathrm{k}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\left(\mathrm{e}\right)\Rightarrow\frac{\mathrm{k}^{'} }{\mathrm{x}}−\frac{\mathrm{k}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{k}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow\mathrm{k}^{'} \:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\:\Rightarrow\mathrm{k}\:=−\mathrm{ln}\left(\mid\mathrm{x}\mid\right)+\mathrm{c}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{z}\:=−\frac{\mathrm{ln}\mid\mathrm{x}\mid}{\mathrm{x}}\:+\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{x}} \\ $$$$\mathrm{y}^{'\:} =\mathrm{z}\:\Rightarrow\mathrm{y}\:=\int\:\mathrm{z}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}\:=−\int\:\frac{\mathrm{ln}\mid\mathrm{x}\mid}{\mathrm{x}}\:\mathrm{dx}\:\:+\mathrm{cln}\mid\mathrm{x}\mid\:+\lambda \\ $$