Question Number 179066 by cortano1 last updated on 24/Oct/22
$$\:\:\:\:\:\mathrm{If}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\int\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{tan}\:\mathrm{x}}\:\mathrm{dx}\: \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{then}\:\int\:\frac{\mathrm{tan}\:\mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{tan}\:\mathrm{x}}\:\mathrm{dx}\:=? \\ $$
Answered by Ar Brandon last updated on 24/Oct/22
$${f}\left({x}\right)=\int\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{tan}{x}}{dx}=\int\frac{\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{tan}{x}\right)−\mathrm{tan}{x}}{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{tan}{x}}{dx} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\int\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{tan}{x}}{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{tan}{x}}\right){dx}={x}−\int\frac{\mathrm{tan}{x}}{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{tan}{x}}{dx} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\Rightarrow\int\frac{\mathrm{tan}{x}}{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{tan}{x}}{dx}={x}−{f}\left({x}\right) \\ $$