Question Number 179175 by Acem last updated on 26/Oct/22
$$\:{Find}\:\int{x}^{\mathrm{5}} \:\sqrt{{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}}\:{dx} \\ $$$$\: \\ $$$$\:{Answer}:\:{I}=\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{45}}\:\left(\mathrm{3}{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{2}\right)\:\sqrt{\left({x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }\:+\:{c} \\ $$$$ \\ $$
Commented by Acem last updated on 26/Oct/22
$$\:{Wonderful}\:{Sir}! \\ $$
Commented by cortano1 last updated on 26/Oct/22
$$\:\mathrm{I}=\int\:\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \:\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}}\:\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\:\mathrm{let}\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}}\:=\:\mathrm{h}\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{3}} =\mathrm{h}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{dx}\:=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\mathrm{h}\:\mathrm{dh}\: \\ $$$$\:\mathrm{I}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\int\left(\mathrm{h}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\mathrm{h}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{dh}\:=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\int\:\left(\mathrm{h}^{\mathrm{4}} −\mathrm{h}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{dh} \\ $$$$\:\:=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}\mathrm{h}^{\mathrm{5}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{h}^{\mathrm{3}} \right)+\mathrm{c} \\ $$$$\:\:=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\mathrm{h}^{\mathrm{3}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}\mathrm{h}^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right)+\mathrm{c} \\ $$$$\:\:=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\sqrt{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right)+\mathrm{c} \\ $$$$\:\:=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\sqrt{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }\:\left(\frac{\mathrm{3x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{2}}{\mathrm{15}}\right)+\mathrm{c} \\ $$$$\:\:=\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{45}}\:\sqrt{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }\:\left(\mathrm{3x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{2}\right)+\mathrm{c}\:\: \\ $$