Question Number 180899 by alcohol last updated on 19/Nov/22
$${H}_{{n}} \:=\:\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}} \\ $$$${show}\:{that}\:{H}_{\mathrm{2}{n}} \:−\:{H}_{{n}} \:=\:\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{k}−\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{k}}\right) \\ $$
Answered by Frix last updated on 19/Nov/22
$${H}_{\mathrm{2}{n}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}+…+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}}= \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+…+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}+…+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}}= \\ $$$$=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{k}−\mathrm{1}}+\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{k}}=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{k}−\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}} \\ $$$$\Rightarrow \\ $$$${H}_{\mathrm{2}{n}} −{H}_{{n}} =\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{k}−\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}}−\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}}= \\ $$$$=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{k}−\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}}=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{k}−\mathrm{1}}−\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{k}}= \\ $$$$=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{k}−\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{k}}\right) \\ $$