Question Number 115391 by Faetma last updated on 25/Sep/20
![Who can explain me what is “R_n [x]”? In French if possible.](https://www.tinkutara.com/question/Q115391.png)
$$\mathrm{Who}\:\mathrm{can}\:\mathrm{explain} \\ $$$$\mathrm{me}\:\mathrm{what}\:\mathrm{is}\:“\mathbb{R}_{{n}} \left[{x}\right]''? \\ $$$${In}\:{French}\:{if}\:{possible}. \\ $$
Answered by Olaf last updated on 26/Sep/20
![Le R c′est l′ensemble des reels. Le X signifie que les objets dependent d′une seule variable reelle traditionnellement notee x et fait reference a la notion de polynomes. R[X] est l′espace vectoriel (l′ensemble pour faire simple) de tous les polynomes sur le corps des reels. R_n [X] est plus restreint. C′est l′espace vectoriel des polynomes de degre n au plus sur le corps des reels. C′est un espace vectoriel. Il y a donc un element neutre pour l′addition, le polynome nul. Il y a une base, les x^k , k≤n. Et tout element de R_n [X] est combinaison lineaire des elements de la base et s′ecrit donc Σ_(k=0) ^n a_k x^k . Tu peux additionner les elements de R_n [X] et le resultat est un element de R_n [X]. Exemples : 3x^2 −4x+7 ∈R_2 [X] 2x−3 ∈R_2 [X] mais ∉R_0 [X] 5x^3 +3x^2 −4x+7 ∉R_2 [X] mais ∈R_3 [X] (3+i)x^2 −4ix+7 ∉R_2 [X] mais ∈C_2 [X]](https://www.tinkutara.com/question/Q115398.png)
$$\mathrm{Le}\:\mathbb{R}\:\mathrm{c}'\mathrm{est}\:\mathrm{l}'\mathrm{ensemble}\:\mathrm{des}\:\mathrm{reels}. \\ $$$$\mathrm{Le}\:\mathrm{X}\:\mathrm{signifie}\:\mathrm{que}\:\mathrm{les}\:\mathrm{objets}\:\mathrm{dependent} \\ $$$$\mathrm{d}'\mathrm{une}\:\mathrm{seule}\:\mathrm{variable}\:\mathrm{reelle} \\ $$$$\mathrm{traditionnellement}\:\mathrm{notee}\:{x}\:\mathrm{et} \\ $$$$\mathrm{fait}\:\mathrm{reference}\:\mathrm{a}\:\mathrm{la}\:\mathrm{notion}\:\mathrm{de} \\ $$$$\mathrm{polynomes}. \\ $$$$ \\ $$$$\mathbb{R}\left[\mathrm{X}\right]\:\mathrm{est}\:\mathrm{l}'\mathrm{espace}\:\mathrm{vectoriel} \\ $$$$\left(\mathrm{l}'\mathrm{ensemble}\:\mathrm{pour}\:\mathrm{faire}\:\mathrm{simple}\right) \\ $$$$\mathrm{de}\:\mathrm{tous}\:\mathrm{les}\:\mathrm{polynomes}\:\mathrm{sur}\:\mathrm{le}\:\mathrm{corps} \\ $$$$\mathrm{des}\:\mathrm{reels}. \\ $$$$ \\ $$$$\mathbb{R}_{{n}} \left[\mathrm{X}\right]\:\mathrm{est}\:\mathrm{plus}\:\mathrm{restreint}. \\ $$$$\mathrm{C}'\mathrm{est}\:\mathrm{l}'\mathrm{espace}\:\mathrm{vectoriel} \\ $$$$\mathrm{des}\:\mathrm{polynomes}\:\:\mathrm{de}\:\mathrm{degre}\:{n} \\ $$$$\mathrm{au}\:\mathrm{plus}\:\mathrm{sur}\:\mathrm{le}\:\mathrm{corps}\:\mathrm{des}\:\mathrm{reels}. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{C}'\mathrm{est}\:\mathrm{un}\:\mathrm{espace}\:\mathrm{vectoriel}. \\ $$$$\mathrm{Il}\:\mathrm{y}\:\mathrm{a}\:\mathrm{donc}\:\mathrm{un}\:\mathrm{element}\:\mathrm{neutre} \\ $$$$\mathrm{pour}\:\mathrm{l}'\mathrm{addition},\:\mathrm{le}\:\mathrm{polynome}\:\mathrm{nul}. \\ $$$$\mathrm{Il}\:\mathrm{y}\:\mathrm{a}\:\mathrm{une}\:\mathrm{base},\:\mathrm{les}\:{x}^{{k}} ,\:{k}\leqslant{n}. \\ $$$$\mathrm{Et}\:\mathrm{tout}\:\mathrm{element}\:\mathrm{de}\:\mathbb{R}_{{n}} \left[\mathrm{X}\right]\:\mathrm{est} \\ $$$$\mathrm{combinaison}\:\mathrm{lineaire}\:\mathrm{des}\:\mathrm{elements} \\ $$$$\mathrm{de}\:\mathrm{la}\:\mathrm{base}\:\mathrm{et}\:\mathrm{s}'\mathrm{ecrit}\:\mathrm{donc}\:\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}{a}_{{k}} {x}^{{k}} . \\ $$$$\mathrm{Tu}\:\mathrm{peux}\:\mathrm{additionner}\:\mathrm{les}\:\mathrm{elements} \\ $$$$\mathrm{de}\:\mathbb{R}_{{n}} \left[\mathrm{X}\right]\:\mathrm{et}\:\mathrm{le}\:\mathrm{resultat}\:\mathrm{est}\:\mathrm{un}\:\mathrm{element} \\ $$$$\mathrm{de}\:\mathbb{R}_{{n}} \left[\mathrm{X}\right]. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Exemples}\:: \\ $$$$\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}{x}+\mathrm{7}\:\in\mathbb{R}_{\mathrm{2}} \left[\mathrm{X}\right] \\ $$$$\mathrm{2}{x}−\mathrm{3}\:\in\mathbb{R}_{\mathrm{2}} \left[\mathrm{X}\right]\:\mathrm{mais}\:\notin\mathbb{R}_{\mathrm{0}} \left[\mathrm{X}\right] \\ $$$$\mathrm{5}{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}{x}+\mathrm{7}\:\notin\mathbb{R}_{\mathrm{2}} \left[\mathrm{X}\right]\:\mathrm{mais}\:\in\mathbb{R}_{\mathrm{3}} \left[\mathrm{X}\right] \\ $$$$\left(\mathrm{3}+{i}\right){x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}{ix}+\mathrm{7}\:\notin\mathbb{R}_{\mathrm{2}} \left[\mathrm{X}\right]\:\mathrm{mais}\:\in\mathbb{C}_{\mathrm{2}} \left[\mathrm{X}\right] \\ $$$$ \\ $$
Commented by Faetma last updated on 25/Sep/20
$$\mathrm{Merci}\:\mathrm{infiniment}\:! \\ $$