Question Number 135996 by mnjuly1970 last updated on 17/Mar/21
Answered by Dwaipayan Shikari last updated on 17/Mar/21
$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{x}^{{n}+\mathrm{1}} }{{n}^{\mathrm{2}} }{dx} \\ $$$$=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} \left({n}+\mathrm{2}\right)}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}}−\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{2}} \\ $$$$=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{8}} \\ $$