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calculate-cos-2x-dx-x-4-x-2-1-

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Question Number 136034 by mathmax by abdo last updated on 18/Mar/21
calculate ∫_(−∞) ^(+∞) ((cos(2x)dx)/(x^4 +x^2 +1))
$$\mathrm{calculate}\:\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\frac{\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{dx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} \:+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}} \\ $$$$ \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 19/Mar/21
Φ =∫_(−∞) ^(+∞) ((cos(2x))/(x^4 +x^2 +1))dx ⇒Φ=Re(∫_(−∞) ^(+∞) (e^(2ix) /(x^4 +x^2 +1))dx) let ϕ(z)=(e^(2iz) /(z^4 +z^2 +1)) poles of ϕ? z^4 +z^2 +1 =0 ⇒u^2 +u +1 =0 (z^2 =u) Δ=−3 ⇒u_1 =((−1+i(√3))/2) =e^((2iπ)/3) and u_2 =e^(−((2iπ)/3)) ⇒ϕ(z)=(e^(2iz) /((z^2 −e^((2iπ)/3) )(z^2 −e^(−((2iπ)/3)) ))) =(e^(2iz) /((z−e^((iπ)/3) )(z+e^((iπ)/3) )(z−e^(−((iπ)/3)) )(z+e^((iπ)/3) ))) ∫_(−∞) ^(+∞ ) ϕ(z)dz =2iπ (Res(ϕ,e^((iπ)/3) ) +Res(ϕ,−e^(−((iπ)/3)) )) Res(ϕ,e^((iπ)/3) ) =(e^(2ie^((iπ)/3) ) /(2e^((iπ)/3) (2isin(((2π)/3))))) =(e^(2i((1/2)+((i(√3))/2))) /(4i.((√3)/2)))e^(−((iπ)/3)) =(1/(2i(√3))) e^(−(√3)) .e^(i−((iπ)/3)) =(1/(2i(√3)))e^(−(√3)) .e^((2iπ)/3) Res(ϕ,−e^(−((iπ)/3)) ) =(e^(−2ie^(−((iπ)/3)) ) /(−2e^(−((iπ)/3)) (−2isin(((2π)/3))))) =(e^(−2i((1/2)−((i(√3))/2))) /(4i.((√3)/2))) .e^((iπ)/3) =(1/(2i(√3))).e^(−(√3)) .e^(−i+((iπ)/3)) =(1/(2i(√3)))e^(−(√3)) .e^(−((2iπ)/3)) ⇒ ∫_R ϕ(z)dz =2iπ.(1/(2i(√3)))e^(−(√3)) {e^((2iπ)/3) +e^(−((2iπ)/3)) } =(π/( (√3)))e^(−(√3)) .(2cos(((2π)/3))) =−(π/( (√3)))e^(−(√(3 )) ) ⇒ ∫_(−∞) ^(+∞) ((cos(2x))/(x^4 +x^2 +1))dx =−(π/( (√3)))e^(−(√3))
$$\Phi\:=\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\frac{\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} \:+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dx}\:\Rightarrow\Phi=\mathrm{Re}\left(\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{2ix}} }{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dx}\right) \\ $$$$\mathrm{let}\:\varphi\left(\mathrm{z}\right)=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{2iz}} }{\mathrm{z}^{\mathrm{4}} \:+\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\:\:\mathrm{poles}\:\mathrm{of}\:\varphi? \\ $$$$\mathrm{z}^{\mathrm{4}} \:+\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\:=\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{u}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{u}\:+\mathrm{1}\:=\mathrm{0}\:\:\left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} =\mathrm{u}\right) \\ $$$$\Delta=−\mathrm{3}\:\Rightarrow\mathrm{u}_{\mathrm{1}} =\frac{−\mathrm{1}+\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\:=\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{2i}\pi}{\mathrm{3}}} \:\mathrm{and}\:\mathrm{u}_{\mathrm{2}} =\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{2i}\pi}{\mathrm{3}}} \\ $$$$\Rightarrow\varphi\left(\mathrm{z}\right)=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{2iz}} }{\left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} −\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{2i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)\left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} −\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{2i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)}\:=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{2iz}} }{\left(\mathrm{z}−\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)\left(\mathrm{z}+\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)\left(\mathrm{z}−\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)\left(\mathrm{z}+\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)} \\ $$$$\int_{−\infty} ^{+\infty\:} \varphi\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{dz}\:=\mathrm{2i}\pi\:\left(\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)\:+\mathrm{Res}\left(\varphi,−\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)\right) \\ $$$$\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)\:=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{2ie}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} } }{\mathrm{2e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \left(\mathrm{2isin}\left(\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{3}}\right)\right)}\:=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{2i}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)} }{\mathrm{4i}.\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}}\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2i}\sqrt{\mathrm{3}}}\:\mathrm{e}^{−\sqrt{\mathrm{3}}} .\mathrm{e}^{\mathrm{i}−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2i}\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{e}^{−\sqrt{\mathrm{3}}} \:.\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{2i}\pi}{\mathrm{3}}} \\ $$$$\mathrm{Res}\left(\varphi,−\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)\:=\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{2ie}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} } }{−\mathrm{2e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \left(−\mathrm{2isin}\left(\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{3}}\right)\right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{2i}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)} }{\mathrm{4i}.\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}}\:.\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2i}\sqrt{\mathrm{3}}}.\mathrm{e}^{−\sqrt{\mathrm{3}}} \:.\mathrm{e}^{−\mathrm{i}+\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2i}\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{e}^{−\sqrt{\mathrm{3}}} \:.\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{2i}\pi}{\mathrm{3}}} \:\Rightarrow \\ $$$$\int_{\mathrm{R}} \:\varphi\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{dz}\:=\mathrm{2i}\pi.\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2i}\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{e}^{−\sqrt{\mathrm{3}}} \left\{\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{2i}\pi}{\mathrm{3}}} \:+\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{2i}\pi}{\mathrm{3}}} \right\} \\ $$$$=\frac{\pi}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{e}^{−\sqrt{\mathrm{3}}} \:.\left(\mathrm{2cos}\left(\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{3}}\right)\right)\:=−\frac{\pi}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{e}^{−\sqrt{\mathrm{3}\:}\:} \:\:\Rightarrow \\ $$$$\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\frac{\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} \:+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dx}\:=−\frac{\pi}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{e}^{−\sqrt{\mathrm{3}}} \\ $$

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