Question Number 116023 by aye48 last updated on 30/Sep/20
$$\:\:\:\mathrm{Find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{sum}\:\mathrm{to}\:\mathrm{n}\:\mathrm{terms}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{series}\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{1}\:+\:\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{a}}\:\left(\mathrm{1}\:+\:\mathrm{x}\right)+\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }\:\left(\mathrm{1}\:+\:\mathrm{x}\:+\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)+\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{a}^{\mathrm{3}} }\:\left(\mathrm{1}\:+\:\mathrm{x}\:+\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \right)\:+\:\ldots \\ $$$$ \\ $$
Answered by mindispower last updated on 30/Sep/20
![=(1/(x−1))[+((x(x^2 −1))/a)+(x^2 /a^2 )(x^3 −1)+......3 =(1/(x−1))[1+Σ_(k≥1) (x^(2k+1) /a^k )−Σ_(k≥1) (x^k /a^k )]](https://www.tinkutara.com/question/Q116025.png)
$$=\frac{\mathrm{1}}{{x}−\mathrm{1}}\left[+\frac{{x}\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)}{{a}}+\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{{a}^{\mathrm{2}} }\left({x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}\right)+……\mathrm{3}\right. \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{{x}−\mathrm{1}}\left[\mathrm{1}+\underset{{k}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\frac{{x}^{\mathrm{2}{k}+\mathrm{1}} }{{a}^{{k}} }−\underset{{k}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\frac{{x}^{{k}} }{{a}^{{k}} }\right] \\ $$
Answered by Dwaipayan Shikari last updated on 30/Sep/20
$$\mathrm{S}=\mathrm{1}+\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{a}}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)+\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)+….\:\:+\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{a}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }.\frac{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{1}−\mathrm{x}} \\ $$$$−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{a}}\mathrm{S}=\:−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{a}}\:\:−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)+…….\:\:\:\:\:\:−\:\:\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{a}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }.\frac{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{1}−\mathrm{x}}−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{a}}.\frac{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{1}−\mathrm{x}} \\ $$$$\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{a}}\right)\mathrm{S}=\mathrm{1}+\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{a}}\mathrm{x}+\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{a}^{\mathrm{3}} }.\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +….\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{a}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }.\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} −\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{a}}.\frac{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{1}−\mathrm{x}} \\ $$$$\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{a}}\right)\mathrm{S}=\frac{\mathrm{1}−\left(\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{a}}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{a}}}−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{a}}.\frac{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{1}−\mathrm{x}} \\ $$$$\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{a}}\right)\mathrm{S}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }\:\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{n}} −\mathrm{x}^{\mathrm{2n}} }{\mathrm{a}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{a}}.\frac{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{1}−\mathrm{x}} \\ $$$$\mathrm{S}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \left(\mathrm{a}−\mathrm{x}\right)}.\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{n}} −\mathrm{x}^{\mathrm{2n}} }{\mathrm{a}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{a}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{a}−\mathrm{x}\right)}.\frac{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{1}−\mathrm{x}} \\ $$