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If-a-3-b-3-513-and-ab-54-then-find-a-b-

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Question Number 70518 by Shamim last updated on 05/Oct/19
If a^3 −b^3 = 513 and ab= 54 then find a−b= ?
$$\mathrm{If}\:\mathrm{a}^{\mathrm{3}} −\mathrm{b}^{\mathrm{3}} =\:\mathrm{513}\:\mathrm{and}\:\mathrm{ab}=\:\mathrm{54}\:\mathrm{then}\:\mathrm{find}\: \\ $$$$\mathrm{a}−\mathrm{b}=\:? \\ $$
Commented by Prithwish sen last updated on 05/Oct/19
use (a−b)^3 +3ab(a−b) = a^3 −b^3
$$\boldsymbol{\mathrm{use}}\:\:\:\left(\boldsymbol{\mathrm{a}}−\boldsymbol{\mathrm{b}}\right)^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}\boldsymbol{\mathrm{ab}}\left(\boldsymbol{\mathrm{a}}−\boldsymbol{\mathrm{b}}\right)\:=\:\boldsymbol{\mathrm{a}}^{\mathrm{3}} −\boldsymbol{\mathrm{b}}^{\mathrm{3}} \\ $$
Commented by Shamim last updated on 05/Oct/19
plz give the solution
$$\mathrm{plz}\:\mathrm{give}\:\mathrm{the}\:\mathrm{solution} \\ $$
Answered by mr W last updated on 05/Oct/19
a^3 −b^3 =(a−b)(a^2 +ab+b^2 ) a^3 −b^3 =(a−b)(a^2 −2ab+b^2 +3ab) a^3 −b^3 =(a−b)[(a−b)^2 +3ab] let a−b=t a^3 −b^3 =t(t^2 +3ab) 513=t(t^2 +3×54) ⇒t^3 +162t−513=0 ⇒(t−3)(t^2 +3t+171)=0 ⇒t=3 ⇒t=((−3±15(√3)i)/2) ⇒a−b=3 ⇒a−b=((−3±15(√3)i)/2)
$${a}^{\mathrm{3}} −{b}^{\mathrm{3}} =\left({a}−{b}\right)\left({a}^{\mathrm{2}} +{ab}+{b}^{\mathrm{2}} \right) \\ $$$${a}^{\mathrm{3}} −{b}^{\mathrm{3}} =\left({a}−{b}\right)\left({a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{ab}+{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{ab}\right) \\ $$$${a}^{\mathrm{3}} −{b}^{\mathrm{3}} =\left({a}−{b}\right)\left[\left({a}−{b}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{ab}\right] \\ $$$${let}\:{a}−{b}={t} \\ $$$${a}^{\mathrm{3}} −{b}^{\mathrm{3}} ={t}\left({t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{ab}\right) \\ $$$$\mathrm{513}={t}\left({t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}×\mathrm{54}\right) \\ $$$$\Rightarrow{t}^{\mathrm{3}} +\mathrm{162}{t}−\mathrm{513}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\left({t}−\mathrm{3}\right)\left({t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{t}+\mathrm{171}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow{t}=\mathrm{3} \\ $$$$\Rightarrow{t}=\frac{−\mathrm{3}\pm\mathrm{15}\sqrt{\mathrm{3}}{i}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow{a}−{b}=\mathrm{3} \\ $$$$\Rightarrow{a}−{b}=\frac{−\mathrm{3}\pm\mathrm{15}\sqrt{\mathrm{3}}{i}}{\mathrm{2}} \\ $$
Commented by peter frank last updated on 05/Oct/19
thanks
$${thanks} \\ $$
Commented by Shamim last updated on 05/Oct/19
tnks a lot
$$\mathrm{tnks}\:\mathrm{a}\:\mathrm{lot} \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 06/Oct/19
AnOtheeWay ab=54⇒b=54/a a^3 −b^3 = 513⇒a^3 −(((54)/a))^3 =513 ⇒a^6 −513a^3 −54^3 =0 ⇒(a^3 )^2 −513a^3 −54^3 =0 ⇒a^3 =((513±(√(513^2 +4.54^3 )))/2) ⇒a^3 =729 ∨ −216 ⇒a^3 −9^3 =0 ∨ a^3 +6^3 =0 a^3 −9^3 =0⇒(a−9)(a^2 +9a+81)=0 ⇒a=9 ,9ω ,9ω^2 a=9⇒b=6 , a−b=3 a=9ω⇒b=6ω^2 ,a−b=9ω−6ω^2 a=9ω^2 ⇒b=6ω,a−b=9ω^2 −6ω a−b=3,9ω−6ω^2 ,9ω^2 −6ω a^3 +6^3 =0⇒(a+6)(a^2 −6a+36)=0 a=−6,−6ω,−6ω^2 a=−6⇒b=−9,a−b=3 a=−6ω⇒b=−9ω^2 ,a−b=−6ω+9ω^2 a=−6ω^2 ⇒b=−9ω,a−b=−6ω^2 +9ω a−b=3,−6ω+9ω^2 ,−6ω^2 +9ω So finally, a−b=3,9ω−6ω^2 ,9ω^2 −6ω
$$\mathcal{A}{n}\mathcal{O}{thee}\mathcal{W}{ay} \\ $$$${ab}=\mathrm{54}\Rightarrow{b}=\mathrm{54}/{a} \\ $$$$\mathrm{a}^{\mathrm{3}} −\mathrm{b}^{\mathrm{3}} =\:\mathrm{513}\Rightarrow{a}^{\mathrm{3}} −\left(\frac{\mathrm{54}}{{a}}\right)^{\mathrm{3}} =\mathrm{513} \\ $$$$\:\:\Rightarrow{a}^{\mathrm{6}} −\mathrm{513}{a}^{\mathrm{3}} −\mathrm{54}^{\mathrm{3}} =\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\Rightarrow\left({a}^{\mathrm{3}} \right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{513}{a}^{\mathrm{3}} −\mathrm{54}^{\mathrm{3}} =\mathrm{0} \\ $$$$\:\Rightarrow{a}^{\mathrm{3}} =\frac{\mathrm{513}\pm\sqrt{\mathrm{513}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}.\mathrm{54}^{\mathrm{3}} }}{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\Rightarrow{a}^{\mathrm{3}} =\mathrm{729}\:\vee\:−\mathrm{216} \\ $$$$\:\:\Rightarrow{a}^{\mathrm{3}} −\mathrm{9}^{\mathrm{3}} =\mathrm{0}\:\:\vee\:{a}^{\mathrm{3}} +\mathrm{6}^{\mathrm{3}} =\mathrm{0} \\ $$$$\:{a}^{\mathrm{3}} −\mathrm{9}^{\mathrm{3}} =\mathrm{0}\Rightarrow\left({a}−\mathrm{9}\right)\left({a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{9}{a}+\mathrm{81}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\Rightarrow{a}=\mathrm{9}\:,\mathrm{9}\omega\:,\mathrm{9}\omega^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:{a}=\mathrm{9}\Rightarrow{b}=\mathrm{6}\:,\:{a}−{b}=\mathrm{3} \\ $$$$\:\:\:{a}=\mathrm{9}\omega\Rightarrow{b}=\mathrm{6}\omega^{\mathrm{2}} ,{a}−{b}=\mathrm{9}\omega−\mathrm{6}\omega^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:{a}=\mathrm{9}\omega^{\mathrm{2}} \Rightarrow{b}=\mathrm{6}\omega,{a}−{b}=\mathrm{9}\omega^{\mathrm{2}} −\mathrm{6}\omega \\ $$$$\:\:{a}−{b}=\mathrm{3},\mathrm{9}\omega−\mathrm{6}\omega^{\mathrm{2}} ,\mathrm{9}\omega^{\mathrm{2}} −\mathrm{6}\omega \\ $$$${a}^{\mathrm{3}} +\mathrm{6}^{\mathrm{3}} =\mathrm{0}\Rightarrow\left({a}+\mathrm{6}\right)\left({a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6}{a}+\mathrm{36}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:{a}=−\mathrm{6},−\mathrm{6}\omega,−\mathrm{6}\omega^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:{a}=−\mathrm{6}\Rightarrow{b}=−\mathrm{9},{a}−{b}=\mathrm{3} \\ $$$$\:{a}=−\mathrm{6}\omega\Rightarrow{b}=−\mathrm{9}\omega^{\mathrm{2}} ,{a}−{b}=−\mathrm{6}\omega+\mathrm{9}\omega^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:{a}=−\mathrm{6}\omega^{\mathrm{2}} \Rightarrow{b}=−\mathrm{9}\omega,{a}−{b}=−\mathrm{6}\omega^{\mathrm{2}} +\mathrm{9}\omega \\ $$$$\:{a}−{b}=\mathrm{3},−\mathrm{6}\omega+\mathrm{9}\omega^{\mathrm{2}} ,−\mathrm{6}\omega^{\mathrm{2}} +\mathrm{9}\omega \\ $$$$\:{So}\:{finally}, \\ $$$$\:\:{a}−{b}=\mathrm{3},\mathrm{9}\omega−\mathrm{6}\omega^{\mathrm{2}} ,\mathrm{9}\omega^{\mathrm{2}} −\mathrm{6}\omega \\ $$

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