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Given-f-x-x-1-x-1-If-f-2-x-f-f-x-f-3-x-f-f-f-x-f-1998-x-g-x-then-1-e-1-g-x-dx-

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Question Number 117066 by bemath last updated on 09/Oct/20
Given f(x)= ((x−1)/(x+1)) . If f^2 (x)=f(f(x)), f^3 (x)=f(f(f(x))) , f^(1998) (x) = g(x) then ∫_(1/e) ^1 g(x) dx = _?
$$\mathrm{Given}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\:\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\:.\:\mathrm{If}\:\mathrm{f}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right),\: \\ $$$$\mathrm{f}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right)\right)\:,\:\mathrm{f}^{\mathrm{1998}} \left(\mathrm{x}\right)\:=\:\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{then}\:\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\:\mathrm{dx}\:=\:\_? \\ $$
Answered by 1549442205PVT last updated on 09/Oct/20
f^2 (x)=((((x−1)/(x+1))−1)/(((x−1)/(x+1))+1))=((−2)/(2x))=−(1/x) f^3 (x)=−(1/((x−1)/(x+1)))=−((x+1)/(x−1)) f^4 (x)=−((((x−1)/(x+1))+1)/(((x−1)/(x+1))−1))=−((2x)/(−2))=x f^5 (x)=((x−1)/(x+1))=f(x) From that we get the sequence f (x)=f^5 (x)=f^9 (x)=...f^(4k+1) (x) Since 1998=4.499+2,we infer g(x)=f^(1998(x)) =f^2 (x)=−(1/x).Therefore, ∫_(1/e) ^( 1) g(x)dx=∫_(1/e) ^( 1) (−(1/x))dx=−ln∣x∣_(1/e) ^1 =ln((1/e))=ln1−lne=0−1=−1
$$\mathrm{f}\:^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\right)=\frac{\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}−\mathrm{1}}{\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}+\mathrm{1}}=\frac{−\mathrm{2}}{\mathrm{2x}}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}} \\ $$$$\mathrm{f}\:^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{x}\right)=−\frac{\mathrm{1}}{\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}}=−\frac{\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{f}\:^{\mathrm{4}} \left(\mathrm{x}\right)=−\frac{\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}+\mathrm{1}}{\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}−\mathrm{1}}=−\frac{\mathrm{2x}}{−\mathrm{2}}=\mathrm{x} \\ $$$$\mathrm{f}\:^{\mathrm{5}} \left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{From}\:\mathrm{that}\:\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\mathrm{the}\:\mathrm{sequence} \\ $$$$\mathrm{f}\:\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\:^{\mathrm{5}} \left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\:^{\mathrm{9}} \left(\mathrm{x}\right)=…\mathrm{f}\:^{\mathrm{4k}+\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{Since}\:\mathrm{1998}=\mathrm{4}.\mathrm{499}+\mathrm{2},\mathrm{we}\:\mathrm{infer} \\ $$$$\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\:^{\mathrm{1998}\left(\mathrm{x}\right)} =\mathrm{f}\:^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\right)=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}.\mathrm{Therefore}, \\ $$$$\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}} ^{\:\mathrm{1}} \mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}} ^{\:\mathrm{1}} \left(−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)\mathrm{dx}=−\mathrm{ln}\mid\mathrm{x}\mid_{\mathrm{1}/\mathrm{e}} ^{\mathrm{1}} \\ $$$$=\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}\right)=\mathrm{ln1}−\mathrm{lne}=\mathrm{0}−\mathrm{1}=−\mathrm{1} \\ $$
Commented by bemath last updated on 09/Oct/20
yes...santuyy
$$\mathrm{yes}…\mathrm{santuyy} \\ $$

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