Question Number 117101 by harckinwunmy last updated on 09/Oct/20
$$\mathrm{If}\:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \theta\:\mathrm{and}\:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \theta\:\mathrm{are}\:\mathrm{the}\:\mathrm{roots}\: \\ $$$$\mathrm{of}\:\mathrm{quadratic}\:\mathrm{equation},\:\mathrm{find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{equation}. \\ $$
Answered by bemath last updated on 09/Oct/20
$$\Rightarrow\left(\mathrm{x}−\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \theta\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \theta\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\left(\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \theta+\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \theta\right)\mathrm{x}+\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \theta\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \theta=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}\theta\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{4x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4x}+\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}\theta\right)=\mathrm{0} \\ $$
Commented by harckinwunmy last updated on 09/Oct/20
$$ \\ $$$$\mathrm{can}\:\mathrm{you}\:\mathrm{explain}\:\mathrm{how}\:\mathrm{you}\:\mathrm{got}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}\theta\right)= \\ $$$$\mathrm{from}\:\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \theta\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \theta \\ $$
Commented by bobhans last updated on 09/Oct/20
$$\Rightarrow\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \theta\:\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \theta\:=\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}.\mathrm{2sin}\:\theta\:\mathrm{cos}\:\theta\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}.\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}\theta\right) \\ $$
Answered by Olaf last updated on 09/Oct/20
$${x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{S}{x}+\mathrm{P}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\:{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{2}\theta\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{The}\:\mathrm{result}\:\mathrm{is}\:\mathrm{immediate}. \\ $$