Question Number 51823 by hassentimol last updated on 30/Dec/18
$$ \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{Give}}\:\boldsymbol{\mathrm{a}}\:\boldsymbol{\mathrm{proof}}\:\boldsymbol{\mathrm{for}}\:: \\ $$$$ \\ $$$$\:\:\:\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{{k}} {\sum}}\:\left(\underset{{n}'=\mathrm{0}} {\overset{{m}} {\prod}}\left(\:{n}+\mathrm{n}'\right)\right)\:\:=\:\:\frac{\underset{{x}=\mathrm{0}} {\overset{{m}+\mathrm{1}} {\prod}}\left({k}+{x}\right)}{{m}+\mathrm{2}}\: \\ $$$$ \\ $$$$\:\:\:\:\:\mathrm{In}\:\mathrm{other}\:\mathrm{terms}\::\:\left({it}\:{is}\:{the}\:{same}\right) \\ $$$$ \\ $$$$\:\:\:\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{{k}} {\sum}}{n}\left({n}+\mathrm{1}\right)\left({n}+\mathrm{2}\right)\:…\:\left({n}+{m}\right) \\ $$$$\:=\:\frac{\:{k}\left({k}+\mathrm{1}\right)\left({k}+\mathrm{2}\right)\:…\:\left({k}+{m}\right)\left({k}+{m}+\mathrm{1}\right)\:}{{m}\:+\:\mathrm{2}} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Thank}\:\mathrm{you}\:!!! \\ $$