Question Number 117498 by bobhans last updated on 12/Oct/20
$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{x}−\mathrm{sin}\:\mathrm{x}\right)}{\:\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }−\mathrm{1}}\:? \\ $$
Answered by bemath last updated on 12/Oct/20
$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{x}−\mathrm{sin}\:\mathrm{x}\right)}{\:\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }−\mathrm{1}}\:=\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{x}−\left(\mathrm{x}−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{6}}\right)}{\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{2}}\right)−\mathrm{1}} \\ $$$$=\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{6}}×\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}.\: \\ $$
Answered by Dwaipayan Shikari last updated on 12/Oct/20
$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{{sin}\left({x}−{sinx}\right)}{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}}.\left(\sqrt{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{3}} }+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}2}.\frac{{x}−{sinx}}{{x}^{\mathrm{3}} }=\mathrm{2}\frac{{x}−{x}+\frac{{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{6}}}{{x}^{\mathrm{3}} }=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 12/Oct/20
$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{sinx}\:\sim\mathrm{x}−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{6}}\:\Rightarrow\mathrm{sinx}−\mathrm{x}\sim−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{6}}\:\Rightarrow\mathrm{x}−\mathrm{sinx}\:\sim\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{6}} \\ $$$$\mathrm{and}\:\mathrm{sin}\left(\mathrm{x}−\mathrm{sinx}\right)\sim\mathrm{sin}\left(\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{6}}\right)\sim\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{6}} \\ $$$$\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \:\sim\mathrm{1}+\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{2}}\:\Rightarrow\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} −\mathrm{1}\sim\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{2}}\:\Rightarrow \\ $$$$\frac{\mathrm{sin}\left(\mathrm{x}−\mathrm{sinx}\right)}{\:\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }−\mathrm{1}}\sim\frac{\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{6}}}{\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{2}}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\:\Rightarrow\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} \:\:\frac{\mathrm{sin}\left(\mathrm{x}−\mathrm{sinx}\right)}{\:\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }−\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}} \\ $$