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f-x-1-xf-1-x-x-2-f-1-x-

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Question Number 117518 by bobhans last updated on 12/Oct/20
f(x+1)+xf(1−x)=x^2 f^(−1) (x) =?
$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{xf}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{f}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)\:=? \\ $$
Answered by bemath last updated on 12/Oct/20
replace x+1 by x (ii) f(x)+(x−1)f(1−(x−1))=(x−1)^2 ⇒ f(x)+(x−1)f(2−x)=(x−1)^2 (iii) replace 1−x by x ⇒f(1−x+1)+(1−x)f(x)=(1−x)^2 f(2−x)+(1−x)f(x)=(x−1)^2 multiply eq (iii) by (x−1) ⇒f(x)+(x−1)f(2−x)=(x−1)^2 ⇒−(1−x)^2 f(x)+(x−1)f(2−x)=(x−1)^3 _______________________________ − ⇒ (1+(1−x)^2 ) f(x) = (x−1)^2 −(x−1)^3 ⇒(2−2x+x^2 ) f(x) = (x−1)^2 (1−(x−1)) f(x) = (((x−1)^2 (2−x))/(x^2 −2x+2))
$$\mathrm{replace}\:\mathrm{x}+\mathrm{1}\:\mathrm{by}\:\mathrm{x} \\ $$$$\left(\mathrm{ii}\right)\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\mathrm{f}\left(\mathrm{1}−\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\right)=\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\mathrm{f}\left(\mathrm{2}−\mathrm{x}\right)=\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\left(\mathrm{iii}\right)\:\mathrm{replace}\:\mathrm{1}−\mathrm{x}\:\mathrm{by}\:\mathrm{x} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)+\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{f}\left(\mathrm{2}−\mathrm{x}\right)+\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{multiply}\:\mathrm{eq}\:\left(\mathrm{iii}\right)\:\mathrm{by}\:\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\mathrm{f}\left(\mathrm{2}−\mathrm{x}\right)=\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow−\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} \:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\mathrm{f}\left(\mathrm{2}−\mathrm{x}\right)=\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} \\ $$$$\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\:− \\ $$$$\Rightarrow\:\left(\mathrm{1}+\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} \right)\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\:\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{2}−\mathrm{2x}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\:\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\right) \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\:\frac{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}−\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}+\mathrm{2}} \\ $$$$ \\ $$

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