Question Number 183350 by Spillover last updated on 25/Dec/22
$${Find}\: \\ $$$$\left({a}\right)\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\:\:\frac{\mathrm{3}{x}+\mathrm{2}}{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}} \\ $$$$\left({b}\right)\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\:\frac{\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}{\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}} \\ $$$$\left({c}\right)\underset{{x}\rightarrow\mathrm{5}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\sqrt{\mathrm{3}{x}+\mathrm{1}}\:−\mathrm{4}}{{x}−\mathrm{5}} \\ $$
Commented by CElcedricjunior last updated on 25/Dec/22
$$\left.\boldsymbol{{a}}\right)\mathrm{0} \\ $$$$\left.\boldsymbol{{b}}\right)\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\left.\boldsymbol{{c}}\right)\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{8}} \\ $$$$ \\ $$
Commented by Spillover last updated on 25/Dec/22
$${thank}\:{you} \\ $$
Answered by Spillover last updated on 25/Dec/22
$$ \\ $$$$\left({a}\right)\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\:\frac{\mathrm{3}{x}+\mathrm{2}}{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}}\:\: \\ $$$${Divide}\:{by}\:{x}^{\mathrm{2}} \:{up}\:{and}\:{down} \\ $$$$\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\frac{\frac{\mathrm{3}}{{x}}+\frac{\mathrm{2}}{{x}}}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{x}}+\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }}\:\:\:\:\:{x}\rightarrow\infty\:\:\:{x}=\mathrm{0} \\ $$$$\frac{\mathrm{0}+\mathrm{0}}{\mathrm{1}−\mathrm{0}+\mathrm{0}}\:=\:\mathrm{0} \\ $$
Answered by Spillover last updated on 25/Dec/22
$$\left({b}\right)\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\:\frac{\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}{\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}} \\ $$$${divide}\:{by}\:{x}\:\:{up}\:{and}\:{down} \\ $$$$\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\:\frac{\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}{\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}}=\:\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\frac{\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}{{x}}}{\frac{\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}}{{x}}} \\ $$$$\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\sqrt{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }}}{\mathrm{2}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}}\:\:\:\: \\ $$$${x}\rightarrow\infty\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\frac{\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{0}}}{\mathrm{2}+\mathrm{0}}\:\:\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$ \\ $$
Answered by Spillover last updated on 25/Dec/22
$$\left({c}\right)\underset{{x}\rightarrow\mathrm{5}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\sqrt{\mathrm{3}{x}+\mathrm{1}}\:−\mathrm{4}}{{x}−\mathrm{5}} \\ $$$${Rationalize}\:{numerator}\: \\ $$$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{5}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\sqrt{\mathrm{3}{x}+\mathrm{1}}\:−\mathrm{4}}{{x}−\mathrm{5}}×\frac{\sqrt{\mathrm{3}{x}+\mathrm{1}}\:+\mathrm{4}}{\:\sqrt{\mathrm{3}{x}+\mathrm{1}}\:+\mathrm{4}} \\ $$$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{5}} {\mathrm{lim}}\:\:\:\frac{\mathrm{3}{x}+\mathrm{1}−\mathrm{16}}{\left({x}−\mathrm{5}\right)\left(\sqrt{\mathrm{3}{x}+\mathrm{1}}\:+\mathrm{4}\right)} \\ $$$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{5}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{3}}{\:\sqrt{\mathrm{3}{x}+\mathrm{1}}\:+\mathrm{4}}\:\:\:\: \\ $$$${x}\rightarrow\mathrm{5}\:\:\:\:{x}=\mathrm{5} \\ $$$$\:\frac{\mathrm{3}}{\:\sqrt{\mathrm{3}×\mathrm{5}+\mathrm{1}}\:+\mathrm{4}}\:=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{8}} \\ $$$$ \\ $$