Question Number 117820 by islam last updated on 13/Oct/20
$$\underset{{x}\rightarrow+\infty} {\mathrm{lim}}\left({x}.\mathrm{sin}\:\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)^{{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$
Answered by Dwaipayan Shikari last updated on 13/Oct/20
$$\underset{{x}\rightarrow+\infty} {\mathrm{lim}}\left({x}\left(\frac{\mathrm{1}}{{x}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}{x}^{\mathrm{3}} }\right)\right)^{{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\underset{{x}\rightarrow+\infty} {\mathrm{lim}}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}{x}^{\mathrm{2}} }\right)^{{x}^{\mathrm{2}} } =\underset{{x}\rightarrow+\infty} {\mathrm{lim}}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}{x}^{\mathrm{2}} }\right)^{−\mathrm{6}{x}^{\mathrm{2}} .\frac{\mathrm{1}}{−\mathrm{6}}} ={e}^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}} =\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt[{\mathrm{6}}]{{e}}} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 13/Oct/20
$$\mathrm{let}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left(\mathrm{x}\:\mathrm{sin}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)\right)^{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \:\mathrm{changement}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}=\mathrm{t}\:\mathrm{give} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left(\frac{\mathrm{sint}}{\mathrm{t}}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }} \:\left(\mathrm{t}\rightarrow\mathrm{0}\right)\:\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{sint}}{\mathrm{t}}\right)} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{sint}\:\sim\mathrm{t}−\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{6}}\:\Rightarrow\frac{\mathrm{sint}}{\mathrm{t}}\sim\mathrm{1}−\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}\:\mathrm{and}\:\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{sint}}{\mathrm{t}}\right)\sim\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{6}}\right)\sim−\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{sint}}{\mathrm{t}}\right)\:\sim−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\:\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\sim\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}} \:\Rightarrow\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow+\infty} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\left(^{\mathrm{6}} \sqrt{\mathrm{e}}\right)} \\ $$
Answered by john santu last updated on 14/Oct/20
$${letting}\:\frac{\mathrm{1}}{{x}}\:=\:\omega\:;\:\omega\rightarrow\mathrm{0}\:\&\:{x}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\omega} \\ $$$$\underset{\omega\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\left(\frac{\mathrm{sin}\:\omega}{\omega}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\omega^{\mathrm{2}} }} =\:{e}^{\underset{\omega\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\left(\frac{\mathrm{sin}\:\omega}{\omega}\:−\mathrm{1}\right).\frac{\mathrm{1}}{\omega^{\mathrm{2}} }} \\ $$$$=\:{e}^{\underset{\omega\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\left(\frac{\mathrm{sin}\:\omega−\omega}{\omega^{\mathrm{3}} }\right)} =\:{e}^{\underset{\omega\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\left(\frac{\mathrm{cos}\:\omega−\mathrm{1}}{\mathrm{3}\omega^{\mathrm{2}} }\right)} \\ $$$$=\:{e}^{\underset{\omega\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\left(\frac{−\mathrm{sin}\:\omega}{\mathrm{6}\omega}\right)} =\:{e}^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}} \:=\:\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt[{\mathrm{6}\:}]{{e}\:}}\:. \\ $$