Question Number 183936 by universe last updated on 31/Dec/22
Answered by Ar Brandon last updated on 31/Dec/22
$$\mathscr{L}=\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\left(\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\overset{{n}} {\:}{C}_{{k}} }\right)^{{n}} =\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\left(\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\left({n}−{k}\right)!{k}!}{{n}!}\right)^{{n}} \\ $$$$\:\:\:\:=\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\left(\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\Gamma\left({n}−{k}+\mathrm{1}\right)\Gamma\left({k}+\mathrm{1}\right)}{\Gamma\left({n}+\mathrm{1}\right)}\right)^{{n}} \\ $$$$\:\:\:\:=\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\left(\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left({n}+\mathrm{1}\right)\beta\left({n}−{k}+\mathrm{1},\:{k}+\mathrm{1}\right)\right)^{{n}} \\ $$$$\:\:\:\:=\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\left(\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left({n}+\mathrm{1}\right)\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} {x}^{{n}−{k}} \left(\mathrm{1}−{x}\right)^{{k}} {dx}\right)^{{n}} \\ $$$$\:\:\:\:=\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\left(\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left({n}+\mathrm{1}\right){x}^{{n}} \underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}−{x}}{{x}}\right)^{{k}} {dx}\right)^{{n}} \\ $$$$\:\:\:\:=\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\left(\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left({n}+\mathrm{1}\right){x}^{{n}} \frac{\left(\frac{\mathrm{1}−{x}}{{x}}\right)\left(\left(\frac{\mathrm{1}−{x}}{{x}}\right)^{{n}} −\mathrm{1}\right)}{\left(\frac{\mathrm{1}−{x}}{{x}}\right)−\mathrm{1}}{dx}\right)^{{n}} \\ $$$$\:\:\:\:=\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\left(\left({n}+\mathrm{1}\right)\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\left(\mathrm{1}−{x}\right)\left(\left(\mathrm{1}−{x}\right)^{{n}} −{x}^{{n}} \right)}{\mathrm{1}−\mathrm{2}{x}}{dx}\right)^{{n}} \\ $$
Commented by universe last updated on 01/Jan/23
$${Answer}\:?\:? \\ $$
Commented by Ar Brandon last updated on 01/Jan/23
Stucked ! sorry.
Commented by universe last updated on 01/Jan/23
$${no}\:{problem}\:{sir} \\ $$