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Salut-Pouvez-vous-m-aider-avec-ce-devoir-Examiner-si-les-series-suivantes-sont-absolument-convergentes-ou-semi-convergentes-k-0-n-1-k-1-k-1-2-k-0-n-1-k-1-k-Et

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Question Number 118952 by Backer last updated on 21/Oct/20
Salut Pouvez vous m′aider avec ce devoir? Examiner si les series suivantes sont absolument convergentes ou semi−convergentes Σ_(k=0) ^n (((-1)^(k-1) )/((k+1)^2 )) Σ_(k=0) ^n (((-1)^(k-1) )/k) Etudier la convergence des series suivantes Σ_(k=1) ^n (((2k)!)/2^k ) Σ_(k=1) ^n ((1/2))^k
$$\mathrm{Salut} \\ $$$$\mathrm{Pouvez}\:\mathrm{vous}\:\mathrm{m}'\mathrm{aider}\:\mathrm{avec}\:\mathrm{ce}\:\mathrm{devoir}? \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Examiner}\:\mathrm{si}\:\mathrm{les}\:\mathrm{series}\:\mathrm{suivantes}\:\mathrm{sont}\: \\ $$$$\mathrm{absolument}\:\mathrm{convergentes}\:\mathrm{ou}\: \\ $$$$\mathrm{semi}−\mathrm{convergentes} \\ $$$$ \\ $$$$\underset{\mathrm{k}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\frac{\left(-\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}-\mathrm{1}} }{\left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$ \\ $$$$\underset{\mathrm{k}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\frac{\left(-\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}-\mathrm{1}} }{\mathrm{k}} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Etudier}\:\mathrm{la}\:\mathrm{convergence}\:\mathrm{des}\:\mathrm{series}\:\mathrm{suivantes} \\ $$$$\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\frac{\left(\mathrm{2k}\right)!}{\mathrm{2}^{\mathrm{k}} } \\ $$$$\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{k}} \\ $$$$ \\ $$
Answered by Bird last updated on 21/Oct/20
Σ_(k=0) ^∞ (((−1)^(k−1) )/((k+1)^2 )) est absolument convergent car ∣(((−1)^(k−1) )/(k+1))∣≤(1/((k+1)^2 )) Σ (((−1)^(k−1) )/k) is slternate serie convergent at form Σ(−1)^(k−1) v_k v_k ≥0 and v_k decreaze to0
$$\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{k}−\mathrm{1}} }{\left({k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\:{est}\:{absolument} \\ $$$${convergent}\:{car}\:\mid\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{k}−\mathrm{1}} }{{k}+\mathrm{1}}\mid\leqslant\frac{\mathrm{1}}{\left({k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\Sigma\:\:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{k}−\mathrm{1}} }{{k}}\:{is}\:{slternate}\:{serie} \\ $$$${convergent}\:\:{at}\:{form}\:\Sigma\left(−\mathrm{1}\right)^{{k}−\mathrm{1}} {v}_{{k}} \\ $$$${v}_{{k}} \geqslant\mathrm{0}\:{and}\:{v}_{{k}} {decreaze}\:{to}\mathrm{0} \\ $$
Answered by Bird last updated on 21/Oct/20
nature de la serie Σ_(n=1) ^∞ (((2n)!)/2^n ) (u_(n+1) /u_n ) =(((2n+2)!)/2^(n+1) )×(2^n /((2n)!)) =(((2n+2)(2n+1))/2) ∼2n^2 →+∞ ⇒cette serie is divergente
$${nature}\:{de}\:{la}\:{serie}\:\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(\mathrm{2}{n}\right)!}{\mathrm{2}^{{n}} } \\ $$$$\frac{{u}_{{n}+\mathrm{1}} }{{u}_{{n}} }\:=\frac{\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{2}\right)!}{\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} }×\frac{\mathrm{2}^{{n}} }{\left(\mathrm{2}{n}\right)!} \\ $$$$=\frac{\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}\:\sim\mathrm{2}{n}^{\mathrm{2}} \rightarrow+\infty \\ $$$$\Rightarrow{cette}\:{serie}\:{is}\:{divergente} \\ $$$$ \\ $$

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