Question Number 119848 by benjo_mathlover last updated on 27/Oct/20
$${Solve}\:{in}\:{real}\:{numbers}\:{the}\:{equation} \\ $$$$\sqrt[{\mathrm{3}\:}]{{x}}\:+\:\sqrt[{\mathrm{3}\:}]{{x}−\mathrm{1}}\:+\:\sqrt[{\mathrm{3}\:}]{{x}+\mathrm{1}}\:=\:\mathrm{0} \\ $$
Answered by 1549442205PVT last updated on 27/Oct/20
$$\mathrm{Applying}\:\mathrm{the}\:\mathrm{identity}\: \\ $$$$\mathrm{a}^{\mathrm{3}} +\mathrm{b}^{\mathrm{3}} +\mathrm{c}^{\mathrm{3}} =\mathrm{3abc}\:\mathrm{when}\:\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=\mathrm{0}.\mathrm{Then} \\ $$$$\sqrt[{\mathrm{3}\:}]{{x}}\:+\:\sqrt[{\mathrm{3}\:}]{{x}−\mathrm{1}}\:+\:\sqrt[{\mathrm{3}\:}]{{x}+\mathrm{1}}\:=\:\mathrm{0}\:\mathrm{gives}\:\mathrm{us} \\ $$$$\mathrm{3x}=\mathrm{3}\:^{\mathrm{3}} \sqrt{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)}\:\Leftrightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{3}} =\mathrm{x}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right) \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{x}=\mathrm{0}.\mathrm{Thus}\:\mathrm{x}=\mathrm{0}\:\mathrm{is}\:\mathrm{unique}\:\mathrm{root}\:\mathrm{of} \\ $$$$\mathrm{given}\:\mathrm{equation} \\ $$$$ \\ $$