Question Number 120425 by bobhans last updated on 31/Oct/20
$$\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{2}^{{x}} −\mathrm{cos}\:{x}}{\mathrm{sin}\:{x}}\:? \\ $$
Answered by john santu last updated on 31/Oct/20
$$\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{2}^{{x}} −\mathrm{cos}\:{x}}{\mathrm{sin}\:{x}}\:=\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\left(\mathrm{2}^{{x}} −\mathrm{cos}\:{x}\right){x}}{{x}\mathrm{sin}\:{x}} \\ $$$$=\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\left(\frac{\mathrm{2}^{{x}} −\mathrm{cos}\:{x}}{{x}}\right).\frac{{x}}{\mathrm{sin}\:{x}} \\ $$$$=\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{2}^{{x}} −\mathrm{cos}\:{x}}{{x}}\:.\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{{x}}{\mathrm{sin}\:{x}} \\ $$$$=\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{2}^{{x}} \:\mathrm{ln}\:\mathrm{2}+\mathrm{sin}\:{x}}{\mathrm{1}}\:.\:\mathrm{1}\:=\:\mathrm{ln}\:\mathrm{2}. \\ $$
Answered by Lordose last updated on 31/Oct/20
$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{x}} −\mathrm{cosx}}{\mathrm{sinx}}\:=\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{x}} \mathrm{ln2}−\mathrm{sinx}}{\mathrm{1}}\:=\:\mathrm{ln2} \\ $$
Answered by Dwaipayan Shikari last updated on 31/Oct/20
$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{2}^{{x}} −{cosx}}{{sinx}}=\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{2}^{{x}} −\mathrm{1}}{{x}}\:\:\:\:\:\:\left({cosx}\rightarrow\mathrm{1}\:\:\:\:\:{sinx}\rightarrow{x}\right) \\ $$$$=\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\left({xlog}\left(\mathrm{2}\right)+\mathrm{1}−\mathrm{1}\right)}{{x}}={log}\left(\mathrm{2}\right)\:\:\:\:\:\:\:\:\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}{a}^{{x}} ={xlog}\left({a}\right)+\mathrm{1} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 31/Oct/20
$$\mathrm{2}^{\mathrm{x}} =\mathrm{e}^{\mathrm{xln2}} \:\sim\mathrm{1}+\mathrm{xln2}\:\:\:\:,\mathrm{cosx}\:\sim\mathrm{1}−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{sinx}\sim\mathrm{x}−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{6}}\:\Rightarrow\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{x}} −\mathrm{cosx}}{\mathrm{sinx}}\sim\frac{\mathrm{1}+\mathrm{xln2}−\mathrm{1}+\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}}{\mathrm{x}−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{6}}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{ln2}+\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}}\:\Rightarrow\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} \:\:\:\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{x}} −\mathrm{cosx}}{\mathrm{sinx}}\:=\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$