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If-f-x-2f-1-x-3f-x-x-1-x-what-is-f-x-

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Question Number 120819 by bramlexs22 last updated on 03/Nov/20
If f(x) +2f((1/x)) +3f((x/(x−1))) = x what is f(x) ?
$$\mathrm{If}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:+\mathrm{2f}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)\:+\mathrm{3f}\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}\right)\:=\:\mathrm{x}\: \\ $$$$\mathrm{what}\:\mathrm{is}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:? \\ $$
Commented by liberty last updated on 03/Nov/20
(i) f(x)+2f((1/x))+3f((x/(x−1))) = x (ii) replace x with (1/x), give f((1/x))+2f(x)+3f((1/(1−x))) = (1/x) (iii) replace x with 1−x ,give f(1−x)+2f((1/(1−x))) +3f(((x−1)/x)) = 1−x (iv) replace x with (1/(x−1)),give f((1/(1−x)))+2f(1−x)+3f((1/x)) = (1/(1−x)) (v) replace x with (x/(x−1)), give f((x/(x−1)))+2f(((x−1)/x))+3f(x) = (x/(x−1)) (vi) replace x with ((x−1)/x) give f(((x−1)/x))+2f((x/(x−1)))+3f(1−x) = ((x−1)/x) adding all equations and solving for f(x) from this system give ∵ f(x) = ((2x^3 +x^2 +5x−2)/(24(x^2 −x)))
$$\left(\mathrm{i}\right)\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{2f}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)+\mathrm{3f}\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}\right)\:=\:\mathrm{x} \\ $$$$\left(\mathrm{ii}\right)\:\mathrm{replace}\:\mathrm{x}\:\mathrm{with}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}},\:\mathrm{give} \\ $$$$\:\mathrm{f}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)+\mathrm{2f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{3f}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}}\right)\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}} \\ $$$$\left(\mathrm{iii}\right)\:\mathrm{replace}\:\mathrm{x}\:\mathrm{with}\:\mathrm{1}−\mathrm{x}\:,\mathrm{give} \\ $$$$\:\mathrm{f}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)+\mathrm{2f}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}}\right)\:+\mathrm{3f}\left(\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)\:=\:\mathrm{1}−\mathrm{x} \\ $$$$\left(\mathrm{iv}\right)\:\mathrm{replace}\:\mathrm{x}\:\mathrm{with}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}},\mathrm{give}\: \\ $$$$\:\:\mathrm{f}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}}\right)+\mathrm{2f}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)+\mathrm{3f}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}} \\ $$$$\:\left(\mathrm{v}\right)\:\mathrm{replace}\:\mathrm{x}\:\mathrm{with}\:\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}},\:\mathrm{give}\: \\ $$$$\:\mathrm{f}\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}\right)+\mathrm{2f}\left(\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)+\mathrm{3f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\:\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}} \\ $$$$\left(\mathrm{vi}\right)\:\mathrm{replace}\:\mathrm{x}\:\mathrm{with}\:\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\:\mathrm{give}\: \\ $$$$\:\mathrm{f}\left(\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)+\mathrm{2f}\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}\right)+\mathrm{3f}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\:=\:\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{x}} \\ $$$$\mathrm{adding}\:\mathrm{all}\:\mathrm{equations}\:\mathrm{and}\:\mathrm{solving}\:\mathrm{for}\: \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:\mathrm{from}\:\mathrm{this}\:\mathrm{system}\:\mathrm{give}\: \\ $$$$\because\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\:\frac{\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{5x}−\mathrm{2}}{\mathrm{24}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}\right)} \\ $$
Commented by bramlexs22 last updated on 03/Nov/20
great...
$$\mathrm{great}… \\ $$
Commented by Ar Brandon last updated on 03/Nov/20
����

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