Question Number 186352 by normans last updated on 03/Feb/23
$$ \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\int_{\mathrm{1}} ^{\:\mathrm{2}} \:\:\frac{\boldsymbol{{tan}}^{−\mathrm{1}} \:\left(\boldsymbol{{x}}\right)\:+\:\mathrm{2}}{\boldsymbol{{x}}^{\mathrm{2}} }\:\:\boldsymbol{{dx}}\:\:\:\:\:\:\: \\ $$$$ \\ $$
Answered by MJS_new last updated on 04/Feb/23
$$\int\frac{\mathrm{2}+\mathrm{arctan}\:{x}}{{x}^{\mathrm{2}} }{dx}=\mathrm{2}\int\frac{{dx}}{{x}^{\mathrm{2}} }+\int\frac{\mathrm{arctan}\:{x}}{{x}^{\mathrm{2}} }{dx} \\ $$$$\mathrm{2}\int\frac{{dx}}{{x}^{\mathrm{2}} }=−\frac{\mathrm{2}}{{x}}+{C}_{\mathrm{1}} \\ $$$$\int\frac{\mathrm{arctan}\:{x}}{{x}^{\mathrm{2}} }{dx}=−\frac{\mathrm{arctan}\:{x}}{{x}}+\int\frac{{dx}}{{x}\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\int\frac{{dx}}{{x}\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}=\int\left(\frac{\mathrm{1}}{{x}}−\frac{{x}}{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\right){dx}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\:\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\:+{C}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{answer}\:\mathrm{is}\:\mathrm{1}−\frac{\mathrm{ln}\:\mathrm{5}\:−\mathrm{3ln}\:\mathrm{2}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{arctan}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$