Question Number 120862 by bemath last updated on 03/Nov/20
$$\:\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{x}}\right)−\mathrm{cos}\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)+\mathrm{1}}{\mathrm{sec}\:\left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{x}}\right)\:\mathrm{tan}\:^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{x}}\right)}\:? \\ $$
Commented by liberty last updated on 03/Nov/20
$$\mathrm{take}\:\mathrm{X}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\:\mathrm{then}\:\:\underset{\mathrm{X}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{2X}−\mathrm{cos}\:\mathrm{X}+\mathrm{1}}{\mathrm{sec}\:\mathrm{3X}.\:\mathrm{tan}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{3X}}\:=\: \\ $$$$\:\underset{\mathrm{X}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\mathrm{cos}\:^{\mathrm{3}} \mathrm{3X}\:×\:\underset{\mathrm{X}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{2X}+\mathrm{2sin}\:^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{X}/\mathrm{2}\right)}{\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{3X}} \\ $$$$=\:\mathrm{1}\:×\:\frac{\mathrm{4}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}{\mathrm{9}}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$
Answered by Dwaipayan Shikari last updated on 03/Nov/20
$$\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{{sin}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{2}}{{x}}\right)−{cos}\left(\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)+\mathrm{1}}{\frac{{sin}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{3}}{{x}}\right)}{{cos}^{\mathrm{3}} \left(\frac{\mathrm{3}}{{x}}\right)}} \\ $$$$=\frac{\left(\frac{\mathrm{2}}{{x}}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} }+\mathrm{1}}{{sin}^{\mathrm{2}} \frac{\mathrm{3}}{{x}}}=\frac{\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }\left(\mathrm{4}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)}{\left(\frac{\mathrm{3}}{{x}}\right)^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$