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x-1-x-4-2x-3-x-2-2x-1-x-2-x-1-dx-

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Question Number 121102 by bramlexs22 last updated on 05/Nov/20
∫ (((x−1)(√(x^4 +2x^3 −x^2 +2x+1)))/(x^2 (x+1))) dx ?
$$\:\int\:\frac{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}+\mathrm{1}}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)}\:\mathrm{dx}\:? \\ $$
Answered by liberty last updated on 05/Nov/20
Ω=∫(((x−1)(√(x^2 (x^2 +2x−1+2x^(−1) +x^(−2) ))))/(x^2 (x+1))) dx Ω=∫(((x−1)(√(x^2 +2x−1+2x^(−1) +x^(−2) )))/(x(x+1))) dx Ω=∫(((x−1)(√((x+x^(−1) )^2 +2(x+x^(−1) )−3)))/(x(x+1))) dx letting q=x+x^(−1) Ω=∫((√((q+1)^2 −4))/(q+2)) dq let q+1 = 2sec θ Ω=∫((2tan θ)/(2sec θ+1)). 2sec θ.tan θ dθ Ω=∫ ((4tan^2 θ)/(2+cos θ)) dθ= ∫ ((4(((2t)/(1−t^2 )))^2 )/(2+((1−t^2 )/(1+t^2 )))). (2/(1+t^2 )) dt where t = tan ((θ/2)) Ω=∫((1/(t−1))+(2/((t−1)^2 ))−(1/(t+1))+(2/((t+1)^2 ))−(6/(t^2 +3))) dt Ω=ln ∣((t−1)/(t+1))∣−((4t)/(t^2 −1))−2(√3) tan^(−1) ((t/( (√3))))+ c Ω=ln ∣(((√((x^2 −x+1)/(x^2 +3x+1)))−1)/( (√((x^2 −x+1)/(x^2 +3x+1)))+1)) ∣−((4(√((x^2 −x+1)/(x^2 +3x+1))))/((((x^2 −x+1)/(x^2 +3x+1)))−1)) − 2(√3) tan^(−1) ((√((x^2 −x+1)/(3x^2 +9x+3))))+c
$$\Omega=\int\frac{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}−\mathrm{1}+\mathrm{2x}^{−\mathrm{1}} +\mathrm{x}^{−\mathrm{2}} \right)}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)}\:\mathrm{dx} \\ $$$$\Omega=\int\frac{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}−\mathrm{1}+\mathrm{2x}^{−\mathrm{1}} +\mathrm{x}^{−\mathrm{2}} }}{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)}\:\mathrm{dx} \\ $$$$\Omega=\int\frac{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\sqrt{\left(\mathrm{x}+\mathrm{x}^{−\mathrm{1}} \right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\left(\mathrm{x}+\mathrm{x}^{−\mathrm{1}} \right)−\mathrm{3}}}{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)}\:\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{letting}\:\mathrm{q}=\mathrm{x}+\mathrm{x}^{−\mathrm{1}} \\ $$$$\Omega=\int\frac{\sqrt{\left(\mathrm{q}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}}}{\mathrm{q}+\mathrm{2}}\:\mathrm{dq}\: \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{q}+\mathrm{1}\:=\:\mathrm{2sec}\:\theta \\ $$$$\Omega=\int\frac{\mathrm{2tan}\:\theta}{\mathrm{2sec}\:\theta+\mathrm{1}}.\:\mathrm{2sec}\:\theta.\mathrm{tan}\:\theta\:\mathrm{d}\theta \\ $$$$\Omega=\int\:\frac{\mathrm{4tan}\:^{\mathrm{2}} \theta}{\mathrm{2}+\mathrm{cos}\:\theta}\:\mathrm{d}\theta=\:\int\:\frac{\mathrm{4}\left(\frac{\mathrm{2t}}{\mathrm{1}−\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}+\frac{\mathrm{1}−\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }}.\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{dt} \\ $$$$\mathrm{where}\:\mathrm{t}\:=\:\mathrm{tan}\:\left(\frac{\theta}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$\Omega=\int\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}−\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{2}}{\left(\mathrm{t}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{2}}{\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{6}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}}\right)\:\mathrm{dt} \\ $$$$\Omega=\mathrm{ln}\:\mid\frac{\mathrm{t}−\mathrm{1}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}\mid−\frac{\mathrm{4t}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}\:\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{t}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)+\:\mathrm{c} \\ $$$$\Omega=\mathrm{ln}\:\mid\frac{\sqrt{\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3x}+\mathrm{1}}}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3x}+\mathrm{1}}}+\mathrm{1}}\:\mid−\frac{\mathrm{4}\sqrt{\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3x}+\mathrm{1}}}}{\left(\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3x}+\mathrm{1}}\right)−\mathrm{1}}\:−\:\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}\:\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\sqrt{\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{9x}+\mathrm{3}}}\right)+\mathrm{c} \\ $$
Commented by MJS_new last updated on 05/Nov/20
great! I did not find the first substitution, thank you for this idea! but from ∫((√(q^2 +2q−3))/(q+2))dq I found another path: let r=((q+1+(√(q^2 +2q−3)))/2) ⇔ q=((r^2 −r+1)/r) → dq=((2(√(q^2 +2q−3)))/(q+1+(√(q^2 +2q−3))))dr=((r^2 −1)/r^2 )dr ⇒ ∫(((r^2 −1)^2 )/(r^2 (r^2 +r+1)))dr= =∫dr−∫(dr/r)+∫(dr/r^2 )−3∫(dr/(r^2 +r+1))= =r−ln r −(1/r)−2(√3)arctan (((√3)(2r+1))/3) =... =(R/x)+ln x −ln (x^2 +x+1+R) −2(√3)arctan (((x+1)^2 +R)/( (√3)x)) +C with R=(√(x^4 +2x^3 −x^2 +2x+1))
$$\mathrm{great}!\:\mathrm{I}\:\mathrm{did}\:\mathrm{not}\:\mathrm{find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{first}\:\mathrm{substitution}, \\ $$$$\mathrm{thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{for}\:\mathrm{this}\:\mathrm{idea}! \\ $$$$\mathrm{but}\:\mathrm{from} \\ $$$$\int\frac{\sqrt{{q}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{q}−\mathrm{3}}}{{q}+\mathrm{2}}{dq} \\ $$$$\mathrm{I}\:\mathrm{found}\:\mathrm{another}\:\mathrm{path}: \\ $$$$\mathrm{let}\:{r}=\frac{{q}+\mathrm{1}+\sqrt{{q}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{q}−\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\:\Leftrightarrow\:{q}=\frac{{r}^{\mathrm{2}} −{r}+\mathrm{1}}{{r}} \\ $$$$\rightarrow\:{dq}=\frac{\mathrm{2}\sqrt{{q}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{q}−\mathrm{3}}}{{q}+\mathrm{1}+\sqrt{{q}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{q}−\mathrm{3}}}{dr}=\frac{{r}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{{r}^{\mathrm{2}} }{dr} \\ $$$$\Rightarrow \\ $$$$\int\frac{\left({r}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{{r}^{\mathrm{2}} \left({r}^{\mathrm{2}} +{r}+\mathrm{1}\right)}{dr}= \\ $$$$=\int{dr}−\int\frac{{dr}}{{r}}+\int\frac{{dr}}{{r}^{\mathrm{2}} }−\mathrm{3}\int\frac{{dr}}{{r}^{\mathrm{2}} +{r}+\mathrm{1}}= \\ $$$$={r}−\mathrm{ln}\:{r}\:−\frac{\mathrm{1}}{{r}}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{arctan}\:\frac{\sqrt{\mathrm{3}}\left(\mathrm{2}{r}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{3}}\:=… \\ $$$$=\frac{\mathcal{R}}{{x}}+\mathrm{ln}\:{x}\:−\mathrm{ln}\:\left({x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}+\mathcal{R}\right)\:−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{arctan}\:\frac{\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +\mathcal{R}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}{x}}\:+{C} \\ $$$$\mathrm{with}\:\mathcal{R}=\sqrt{{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{2}{x}^{\mathrm{3}} −{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}} \\ $$
Commented by liberty last updated on 05/Nov/20
great....
$$\mathrm{great}…. \\ $$
Answered by TANMAY PANACEA last updated on 05/Nov/20
∫((x−1)/(x^2 (x+1)))×x(√((x^2 +(1/x^2 ))+2(x+(1/x))−1)) dx ∫((x−1)/(x^2 +x))×(√((x+(1/x))^2 −2+2(x+(1/x))−1)) dx ∫((x−1)/(x^2 +x))×(√((x+(1/x))^2 +2(x+(1/x))−3)) dx k=x+(1/x)→dk=(1−(1/x^2 ))dx dk=(((x+1)(x−1))/x^2 )dx ∫(((x+1)(x−1))/(x^2 (x+1)^2 ))×x(√((x+(1/x))^2 +2(x+(1/x))−3)) dx ∫(((x+1)(x−1))/x^2 )×(x/(x^2 +2x+1))×(√((x+(1/x))^2 +2(x+(1/x))−3)) dx ∫(((x+1)(x−1))/x^2 )×(1/(x+2+(1/x)))×(√((x+(1/x))^2 +2(x+(1/x))−3)) dx ∫(1/(k+2))×(√(k^2 +2k−3)) dk ∫((k^2 +2k−3)/((k+2)(√(k^2 +2k−3))))dk ∫(k/( (√(k^2 +2k−3))))−3∫(dk/( (k+2)(√(k^2 +2k−3)))) (1/2)∫((2k+2−2)/( (√(k^2 +2k−3))))−3∫(dk/((k+2)(√(k^2 +2k−3)) )) (1/2)∫((d(k^2 +2k−3))/( (√(k^2 +2k−3))))−∫(dk/( (√((k+1)^2 −4))))−3∫(dk/((k+2)(√(k^2 +2k−3)))) I_1 =(1/2)×((√(k^2 +2k−3))/(1/2))+c_1 →(√(k^2 +2k−3)) +c_1 I_2 =∫(dy/( (√(y^2 −a^2 ))))→wait i shall see formula I_3 =∫(dk/((k+2)(√(k^2 +2k−3)))) I=I_1 −I_2 −3I_3 now I_3 =∫(dk/((k+2)(√(k^2 +2k−3)))) k+2=(1/t)→dk=((−dt)/t^2 ) ∫((−dt)/t^2 )×t×(1/( (√(((1/t)−2)^2 +2((1/t)−2)−3)))) ∫((−dt)/(t(√((1/t^2 )−(4/t)+4+(2/t)−4−3)))) ∫((−tdt)/(t(√(1−4t+2t−3t^2 )))) ∫((−dt)/( (√(1−2t−3t^2 )))) −3(t^2 +((2t)/3)−(1/3)) −3(t^2 +2×t×(1/3)+(1/9)−(1/9)−(1/3)) −3{(t+(1/3))^2 −(4/9)} 3{((2/3))^2 −(t+(1/3))^2 } ∫((−dt)/( (√(1−2t−3t^2 )))) ∫((−dt)/( (√3) (√(((2/3))^2 −(t+(1/3))^2 ))))=((−1)/( (√3)))∫(dy/( (√(a^2 −y^2 )))) formula
$$\int\frac{{x}−\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} \left({x}+\mathrm{1}\right)}×{x}\sqrt{\left({x}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }\right)+\mathrm{2}\left({x}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)−\mathrm{1}}\:{dx} \\ $$$$\int\frac{{x}−\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} +{x}}×\sqrt{\left({x}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}+\mathrm{2}\left({x}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)−\mathrm{1}}\:{dx} \\ $$$$\int\frac{{x}−\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} +{x}}×\sqrt{\left({x}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\left({x}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)−\mathrm{3}}\:{dx} \\ $$$${k}={x}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}\rightarrow{dk}=\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }\right){dx} \\ $$$${dk}=\frac{\left({x}+\mathrm{1}\right)\left({x}−\mathrm{1}\right)}{{x}^{\mathrm{2}} }{dx} \\ $$$$\int\frac{\left({x}+\mathrm{1}\right)\left({x}−\mathrm{1}\right)}{{x}^{\mathrm{2}} \left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }×{x}\sqrt{\left({x}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\left({x}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)−\mathrm{3}}\:{dx} \\ $$$$\int\frac{\left({x}+\mathrm{1}\right)\left({x}−\mathrm{1}\right)}{{x}^{\mathrm{2}} }×\frac{{x}}{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}}×\sqrt{\left({x}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\left({x}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)−\mathrm{3}}\:{dx} \\ $$$$\int\frac{\left({x}+\mathrm{1}\right)\left({x}−\mathrm{1}\right)}{{x}^{\mathrm{2}} }×\frac{\mathrm{1}}{{x}+\mathrm{2}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}}×\sqrt{\left({x}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\left({x}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)−\mathrm{3}}\:{dx} \\ $$$$\int\frac{\mathrm{1}}{{k}+\mathrm{2}}×\sqrt{{k}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{k}−\mathrm{3}}\:{dk} \\ $$$$\int\frac{{k}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{k}−\mathrm{3}}{\left({k}+\mathrm{2}\right)\sqrt{{k}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{k}−\mathrm{3}}}{dk} \\ $$$$\int\frac{{k}}{\:\sqrt{{k}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{k}−\mathrm{3}}}−\mathrm{3}\int\frac{{dk}}{\:\left({k}+\mathrm{2}\right)\sqrt{{k}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{k}−\mathrm{3}}} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{\mathrm{2}{k}+\mathrm{2}−\mathrm{2}}{\:\sqrt{{k}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{k}−\mathrm{3}}}−\mathrm{3}\int\frac{{dk}}{\left({k}+\mathrm{2}\right)\sqrt{{k}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{k}−\mathrm{3}}\:} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{{d}\left({k}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{k}−\mathrm{3}\right)}{\:\sqrt{{k}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{k}−\mathrm{3}}}−\int\frac{{dk}}{\:\sqrt{\left({k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}}}−\mathrm{3}\int\frac{{dk}}{\left({k}+\mathrm{2}\right)\sqrt{{k}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{k}−\mathrm{3}}} \\ $$$${I}_{\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}×\frac{\sqrt{{k}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{k}−\mathrm{3}}}{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}+{c}_{\mathrm{1}} \rightarrow\sqrt{\boldsymbol{{k}}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\boldsymbol{{k}}−\mathrm{3}}\:+\boldsymbol{{c}}_{\mathrm{1}} \\ $$$$\boldsymbol{{I}}_{\mathrm{2}} =\int\frac{{dy}}{\:\sqrt{{y}^{\mathrm{2}} −{a}^{\mathrm{2}} }}\rightarrow{wait}\:{i}\:{shall}\:{see}\:{formula} \\ $$$${I}_{\mathrm{3}} =\int\frac{{dk}}{\left({k}+\mathrm{2}\right)\sqrt{{k}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{k}−\mathrm{3}}} \\ $$$${I}={I}_{\mathrm{1}} −{I}_{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{I}_{\mathrm{3}} \\ $$$$\boldsymbol{{now}} \\ $$$$\boldsymbol{{I}}_{\mathrm{3}} =\int\frac{{dk}}{\left({k}+\mathrm{2}\right)\sqrt{{k}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{k}−\mathrm{3}}} \\ $$$${k}+\mathrm{2}=\frac{\mathrm{1}}{{t}}\rightarrow{dk}=\frac{−{dt}}{{t}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\int\frac{−{dt}}{{t}^{\mathrm{2}} }×{t}×\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\left(\frac{\mathrm{1}}{{t}}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\left(\frac{\mathrm{1}}{{t}}−\mathrm{2}\right)−\mathrm{3}}} \\ $$$$\int\frac{−{dt}}{{t}\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{{t}^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{4}}{{t}}+\mathrm{4}+\frac{\mathrm{2}}{{t}}−\mathrm{4}−\mathrm{3}}} \\ $$$$\int\frac{−{tdt}}{{t}\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{4}{t}+\mathrm{2}{t}−\mathrm{3}{t}^{\mathrm{2}} }} \\ $$$$\int\frac{−{dt}}{\:\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{2}{t}−\mathrm{3}{t}^{\mathrm{2}} }} \\ $$$$−\mathrm{3}\left({t}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{2}{t}}{\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right) \\ $$$$−\mathrm{3}\left({t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}×{t}×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{9}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{9}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right) \\ $$$$−\mathrm{3}\left\{\left({t}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{9}}\right\} \\ $$$$\mathrm{3}\left\{\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} −\left({t}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} \right\} \\ $$$$\int\frac{−{dt}}{\:\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{2}{t}−\mathrm{3}{t}^{\mathrm{2}} }} \\ $$$$\int\frac{−{dt}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}\:\sqrt{\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} −\left({t}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} }}=\frac{−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\int\frac{{dy}}{\:\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} −{y}^{\mathrm{2}} }}\:\:\:{formula} \\ $$

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