Question Number 186748 by EnterUsername last updated on 09/Feb/23
$$\mathrm{Let}\:{f}:\mathbb{R}^{+} \rightarrow\mathbb{R}^{+} \:\mathrm{be}\:\mathrm{a}\:\mathrm{function}\:\mathrm{satisfying}\:\mathrm{the}\:\mathrm{relation} \\ $$$${f}\left({x}.{f}\left(\mathrm{y}\right)\right)={f}\left({x}\mathrm{y}\right)+{x}\:\mathrm{for}\:\mathrm{all}\:{x},\:\mathrm{y}\:\in\mathbb{R}^{+} .\:\mathrm{Then} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\left(\frac{\left({f}\left({x}\right)\right)^{\mathrm{1}/\mathrm{3}} −\mathrm{1}}{\left({f}\left({x}\right)\right)^{\mathrm{1}/\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\right)= \\ $$$$\left(\mathrm{A}\right)\:\:\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left(\mathrm{B}\right)\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\left(\mathrm{C}\right)\:\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left(\mathrm{D}\right)\:\:\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}} \\ $$