Question Number 121460 by bramlexs22 last updated on 08/Nov/20
$$\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } {\mathrm{lim}}\:\left(\mathrm{cot}\:\mathrm{x}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{ln}\:\mathrm{x}}} \:?\: \\ $$
Answered by Dwaipayan Shikari last updated on 08/Nov/20
$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\left({cotx}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{{logx}}} ={y} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{{logx}}{log}\left(\frac{{cosx}}{{sinx}}\right)={logy}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left({cosx}\rightarrow\mathrm{1}\right) \\ $$$$\Rightarrow−\frac{{log}\left({sinx}\right)}{{logx}}={logy} \\ $$$$=−\mathrm{1}={logy}\Rightarrow{y}=\frac{\mathrm{1}}{{e}}\:\:\left({sinx}\rightarrow{x}\right) \\ $$
Answered by liberty last updated on 08/Nov/20
$$\:\mathrm{L}=\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } {\mathrm{lim}}\:\left(\mathrm{cot}\:\mathrm{x}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{ln}\:\mathrm{x}}} \\ $$$$\:\mathrm{ln}\:\mathrm{L}\:=\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{ln}\:\mathrm{cot}\:\mathrm{x}}{\mathrm{ln}\:\mathrm{x}}\:=\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } {\mathrm{lim}}\:\frac{−\mathrm{cosec}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}.\mathrm{cot}\:\mathrm{x}} \\ $$$$\:\mathrm{ln}\:\mathrm{L}\:=\:−\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{xsin}\:\mathrm{x}}{\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}.\mathrm{cos}\:\mathrm{x}}\:=\:−\mathrm{1} \\ $$$$\:\mathrm{L}\:=\:\mathrm{e}^{−\mathrm{1}} \:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}. \\ $$