Question Number 187971 by mnjuly1970 last updated on 24/Feb/23
$$ \\ $$$$\:\:\mathrm{If}\:\:\:,\:\:{x}^{\:\mathrm{5}} \:=\:\mathrm{1}\:\:\:\wedge\:\:{x}\neq\mathrm{1} \\ $$$$ \\ $$$$\:\:\:\:\left(\:\frac{\:\mathrm{1}}{{x}^{\:\mathrm{2}} \:−{x}\:+\mathrm{1}}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\:\mathrm{2}} \:+\:{x}\:+\mathrm{1}}\:\right)^{\:\mathrm{10}} =\:? \\ $$$$ \\ $$
Answered by BaliramKumar last updated on 24/Feb/23
$$\mathrm{2}^{\mathrm{10}} \:=\:\mathrm{1024} \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 25/Feb/23
$$\:\:\mathrm{If}\:\:\:\:{x}^{\:\mathrm{5}} \:=\:\mathrm{1}\:\:\:\wedge\:\:{x}\neq\mathrm{1} \\ $$$$\left(\:\frac{\:\mathrm{1}}{{x}^{\:\mathrm{2}} \:−{x}\:+\mathrm{1}}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\:\mathrm{2}} \:+\:{x}\:+\mathrm{1}}\:\right)^{\:\mathrm{10}} =\:? \\ $$$$ \\ $$$${x}^{\mathrm{5}} −\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\left({x}−\mathrm{1}\right)\left({x}^{\mathrm{4}} +{x}^{\mathrm{3}} +{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$${x}^{\mathrm{4}} +{x}^{\mathrm{3}} +{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}=\mathrm{0}\:\:\left[\because\:{x}\neq\mathrm{1}\right] \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }+{x}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}+\mathrm{1}=\mathrm{0}\:\:\:\:\left[{x}\neq\mathrm{0}\right] \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }+\mathrm{1}=−\left({x}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)…..{A} \\ $$$$ \\ $$$$\blacktriangleright\left(\:\frac{\:\mathrm{1}}{{x}^{\:\mathrm{2}} \:−{x}\:+\mathrm{1}}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\:\mathrm{2}} \:+\:{x}\:+\mathrm{1}}\:\right)^{\:\mathrm{10}} \\ $$$$\left(\:\frac{\:\mathrm{1}}{{x}^{\:} \:\:+\frac{\mathrm{1}}{{x}}−\mathrm{1}}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\:} \:+\:\frac{\mathrm{1}}{{x}}\:+\mathrm{1}}\:\right)^{\:\mathrm{10}} \\ $$$$\left(\frac{\mathrm{2}\left({x}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)}{\left({x}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\right)^{\mathrm{10}} \\ $$$$\left(\frac{\mathrm{2}\left({x}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)}{{x}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }+\mathrm{1}}\right)^{\mathrm{10}} \:\:{From}\:\:{A} \\ $$$$\left(\frac{\mathrm{2}\cancel{\left({x}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)}}{−\cancel{\left({x}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)}}\right)^{\mathrm{10}} \left[\because\:{x}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }+\mathrm{1}=−\left({x}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)…{from}\:{A}\right] \\ $$$$=\left(−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{10}} =\mathrm{2}^{\mathrm{10}} =\mathrm{1024} \\ $$