Question Number 122679 by mathocean1 last updated on 18/Nov/20
$${N}=\mathrm{1335}\:{in}\:{base}\:{a}.\: \\ $$$${Write}\:{N}\:{in}\:{base}\:{a}+\mathrm{1} \\ $$
Answered by mr W last updated on 18/Nov/20
$${N}=\left(\mathrm{1335}\right)_{{a}} \\ $$$$=\mathrm{1}×{a}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}×{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}×{a}+\mathrm{5} \\ $$$$=\mathrm{1}×{a}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}×{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}×{a}+\mathrm{1}+\mathrm{4} \\ $$$$=\left({a}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} +\mathrm{4} \\ $$$$=\mathrm{1}×\left({a}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} +\mathrm{0}×\left({a}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{0}×\left({a}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{4} \\ $$$$=\left(\mathrm{1004}\right)_{{a}+\mathrm{1}} \\ $$
Answered by MJS_new last updated on 18/Nov/20
$$\mathrm{1004} \\ $$$${a}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{a}+\mathrm{5}=\alpha\left({a}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} +\beta\left({a}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +\gamma\left({a}+\mathrm{1}\right)+\delta \\ $$$$\left(\mathrm{1}−\alpha\right){a}^{\mathrm{3}} +\left(\mathrm{3}−\mathrm{3}\alpha−\beta\right){a}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{3}−\mathrm{3}\alpha+\mathrm{2}\beta−\gamma\right){a}+\left(\mathrm{5}−\alpha−\beta−\gamma−\delta\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{all}\:\mathrm{brackets}\:\mathrm{must}\:\mathrm{be}\:\mathrm{zero}\:\Rightarrow \\ $$$$\alpha=\mathrm{1}\wedge\beta=\mathrm{0}\wedge\gamma=\mathrm{0}\wedge\delta=\mathrm{4} \\ $$