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Advanced-calculus-Find-the-value-of-the-following-series-n-1-1-n-n-n-2-n-z-n-1-1-n-z-

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Question Number 188381 by mnjuly1970 last updated on 28/Feb/23
Advanced calculus Find the value of the following series. Ω = Σ_(n=1) ^∞ (( (−1)^( n) ζ ( n ))/(n. 2^( n) )) = ? ζ ( z ) = Σ_( n=1) ^∞ (( 1)/(n^( z) )) ; Re ( z )>1
$$ \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{Advanced}\:\:\mathrm{calculus} \\ $$$$ \\ $$$$\:\:\:\:\:\mathrm{Find}\:\:\mathrm{the}\:\:\mathrm{value}\:\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{following}\:\mathrm{series}. \\ $$$$ \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\Omega\:=\:\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\:\frac{\:\left(−\mathrm{1}\right)^{\:{n}} \:\zeta\:\left(\:{n}\:\right)}{{n}.\:\mathrm{2}^{\:{n}} }\:=\:? \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\zeta\:\left(\:{z}\:\right)\:=\:\underset{\:{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\:\mathrm{1}}{{n}^{\:{z}} \:}\:\:\:\:\:;\:\:\:\:\mathscr{R}{e}\:\left(\:{z}\:\right)>\mathrm{1} \\ $$$$ \\ $$
Answered by witcher3 last updated on 15/Mar/23
n≥2 ζ(1) diverge
$$\mathrm{n}\geqslant\mathrm{2} \\ $$$$\zeta\left(\mathrm{1}\right)\:\mathrm{diverge} \\ $$
Answered by witcher3 last updated on 18/Mar/23
Ω=Σ_(n≥2) (((−1)^n ζ(n))/(n.2^n )) We have Γ(n)ζ(n)=∫_0 ^∞ (x^(n−1) /(e^x −1))dx,∀n≥2 ζ(n)=(1/((n−1)!))∫_0 ^∞ (x^(n−1) /(e^x −1))dx 𝛀=Σ_(n≥2) ∫_0 ^∞ (((−1)^n x^(n−1) )/(2^n .n!))dx Σ_(n≥0) (((−1)^n x^(n−1) )/(2^n .n!)) cv Uniformly to exp this We can exchangeΣ and ∫ in Ω ⇒Ω=∫_0 ^∞ (1/x)Σ_(n≥2) (((−(x/2))^n )/(n!))dx=∫_0 ^∞ ((e^(−(x/2)) −1+(x/2))/(x(e^x −1)))dx =∫_0 ^∞ −(e^(−x) /(x(e^(−(x/2)) +1)))+(e^(−x) /(2(1−e^(−x) )))dx f(a)=∫_0 ^∞ e^(−ax) (−(1/(x(e^(−(x/2)) +1)))+(1/(2(1−e^(−x) ))))dx f′(a)=∫_0 ^∞ e^(−ax) ((1/(e^(−(x/2)) +1))−(x/(2(1−e^(−x) ))))dx ∫_0 ^∞ −(x/(2(1−e^(−x) )))e^(−ax) dx=−(1/2)Σ_(k≥0) ∫_0 ^∞ xe^(−(a+k)x) =−(1/2).Γ(2)Σ_(k≥0) (1/((k+a)^2 ))=−(1/2)Ψ^((1)) (a) ∫_0 ^∞ (e^(−ax) /(e^(−(x/2)) +1))=Σ_(k≥0) (−1)^k ∫_0 ^∞ e^(−(a+(k/2))x) =Σ_(k≥0) (((−1)^k )/((a+(k/2))))=Σ_(k≥0) (1/(a+k))−(1/(a+(1/2)+k)) =Ψ(a+(1/2))−𝚿(a) f′(a)=Ψ(a+(1/2))−Ψ(a)−((Ψ^((1)) (a))/2) f(a)=log(((Γ(a+(1/2)))/(Γ(a))))−(1/2)Ψ(a)+c lim_(a→∞) ∫_0 ^∞ e^(−ax) (−(1/(x(e^(−(x/2)) +1)))+(1/(2(1−e^(−x) ))))dx =∫_0 ^∞ lim_(a→∞) e^(−ax) (−(1/(x(e^(−(x/2)) +1)))+(1/(2(1−e^(−x) ))))dx=0 ⇒lim_(a→∞) ln(((Γ(a+(1/2)))/(Γ(a))))−((Ψ(a))/2)+c=0 Γ(a)∼(√(2π)).a^(a−(1/2)) e^(−a) Γ(a+(1/2))∼(√(2π))a^a e^(−a) Ψ(a)∼ln(a) lim_(a→∞) f(a)=lim_(a→∞) ln((√a))−(1/2)(ln(a))=0⇒c=0 f(a)=ln(((Γ(a+(1/2)))/(Γ(a))))−((Ψ(a))/2) Ω=f(1)=ln(((Γ((3/2)))/(Γ(1))))−((𝚿(1))/2)=ln(((√π)/2))−((Ψ(1))/2) =((ln(π)+γ)/2)−ln(2)=Σ_(n≥2) (((−1)^n ζ(n))/(2^n .n))
$$\Omega=\underset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{2}} {\sum}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \zeta\left(\mathrm{n}\right)}{\mathrm{n}.\mathrm{2}^{\mathrm{n}} } \\ $$$$\mathrm{We}\:\mathrm{have}\:\Gamma\left(\mathrm{n}\right)\zeta\left(\mathrm{n}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} −\mathrm{1}}\mathrm{dx},\forall\mathrm{n}\geqslant\mathrm{2} \\ $$$$\zeta\left(\mathrm{n}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)!}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} −\mathrm{1}}\boldsymbol{\mathrm{dx}} \\ $$$$\boldsymbol{\Omega}=\underset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{2}} {\sum}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} .\mathrm{n}!}\mathrm{dx} \\ $$$$\underset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} .\mathrm{n}!}\:\:\:\mathrm{cv}\:\mathrm{Uniformly}\:\mathrm{to}\:\mathrm{exp} \\ $$$$\mathrm{this}\:\mathrm{We}\:\mathrm{can}\:\mathrm{exchange}\Sigma\:\mathrm{and}\:\int\:\mathrm{in}\:\Omega \\ $$$$\Rightarrow\Omega=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\underset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{2}} {\sum}\frac{\left(−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}!}\mathrm{dx}=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} −\mathrm{1}+\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}}{\mathrm{x}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}} −\mathrm{1}\right)}\mathrm{dx} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} −\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }{\mathrm{x}\left(\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} +\mathrm{1}\right)}+\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}−\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \right)}\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \mathrm{e}^{−\mathrm{ax}} \left(−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}\left(\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} +\mathrm{1}\right)}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}−\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \right)}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{f}'\left(\mathrm{a}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \mathrm{e}^{−\mathrm{ax}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} +\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}−\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \right)}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} −\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}−\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \right)}\mathrm{e}^{−\mathrm{ax}} \mathrm{dx}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\underset{\mathrm{k}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \mathrm{xe}^{−\left(\mathrm{a}+\mathrm{k}\right)\mathrm{x}} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}.\Gamma\left(\mathrm{2}\right)\underset{\mathrm{k}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{k}+\mathrm{a}\right)^{\mathrm{2}} }=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\Psi^{\left(\mathrm{1}\right)} \left(\mathrm{a}\right) \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{ax}} }{\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} +\mathrm{1}}=\underset{\mathrm{k}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} \int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \mathrm{e}^{−\left(\mathrm{a}+\frac{\mathrm{k}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}} \\ $$$$=\underset{\mathrm{k}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\left(\mathrm{a}+\frac{\mathrm{k}}{\mathrm{2}}\right)}=\underset{\mathrm{k}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}+\mathrm{k}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\mathrm{k}} \\ $$$$=\Psi\left(\mathrm{a}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)−\boldsymbol{\Psi}\left(\mathrm{a}\right) \\ $$$$\mathrm{f}'\left(\mathrm{a}\right)=\Psi\left(\mathrm{a}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)−\Psi\left(\mathrm{a}\right)−\frac{\Psi^{\left(\mathrm{1}\right)} \left(\mathrm{a}\right)}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)=\mathrm{log}\left(\frac{\Gamma\left(\mathrm{a}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)}{\Gamma\left(\mathrm{a}\right)}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\Psi\left(\mathrm{a}\right)+\mathrm{c} \\ $$$$\underset{\mathrm{a}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \mathrm{e}^{−\mathrm{ax}} \left(−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}\left(\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} +\mathrm{1}\right)}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}−\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \right)}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \underset{\mathrm{a}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}e}^{−\mathrm{ax}} \left(−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}\left(\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} +\mathrm{1}\right)}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}−\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \right)}\right)\mathrm{dx}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\underset{\mathrm{a}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}ln}\left(\frac{\Gamma\left(\mathrm{a}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)}{\Gamma\left(\mathrm{a}\right)}\right)−\frac{\Psi\left(\mathrm{a}\right)}{\mathrm{2}}+\mathrm{c}=\mathrm{0} \\ $$$$\Gamma\left(\mathrm{a}\right)\sim\sqrt{\mathrm{2}\pi}.\mathrm{a}^{\mathrm{a}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \mathrm{e}^{−\mathrm{a}} \\ $$$$\Gamma\left(\mathrm{a}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\sim\sqrt{\mathrm{2}\pi}\mathrm{a}^{\mathrm{a}} \mathrm{e}^{−\mathrm{a}} \\ $$$$\Psi\left(\mathrm{a}\right)\sim\mathrm{ln}\left(\mathrm{a}\right) \\ $$$$\underset{\mathrm{a}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}f}\left(\mathrm{a}\right)=\underset{\mathrm{a}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}ln}\left(\sqrt{\mathrm{a}}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{ln}\left(\mathrm{a}\right)\right)=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{c}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)=\mathrm{ln}\left(\frac{\Gamma\left(\mathrm{a}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)}{\Gamma\left(\mathrm{a}\right)}\right)−\frac{\Psi\left(\mathrm{a}\right)}{\mathrm{2}} \\ $$$$\Omega=\mathrm{f}\left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{ln}\left(\frac{\Gamma\left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)}{\Gamma\left(\mathrm{1}\right)}\right)−\frac{\boldsymbol{\Psi}\left(\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}=\mathrm{ln}\left(\frac{\sqrt{\pi}}{\mathrm{2}}\right)−\frac{\Psi\left(\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{ln}\left(\pi\right)+\gamma}{\mathrm{2}}−\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)=\underset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{2}} {\sum}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \zeta\left(\mathrm{n}\right)}{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} .\mathrm{n}} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$

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