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A-1-A-2-A-3-A-n-are-defined-as-follows-A-1-2-A-n-1-2-A-1-A-2-A-3-A-n-for-n-1-2-3-a-Evaluate-the-numerical-values-of-A-3-and-A-4-b-Prove-that-A-2-A-3-A-n-form-a-geome

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Question Number 122999 by ZiYangLee last updated on 21/Nov/20
A_1 ,A_2 ,A_3 ,…,A_n are defined as follows A_1 =2, A_(n−1) =2(A_1 +A_2 +A_3 +…+A_n ) for n=1,2,3,… (a)Evaluate the numerical values of A_(3 ) and A_4 (b)Prove that A_2 ,A_3 ,…,A_n form a geometric progression.
$${A}_{\mathrm{1}} ,{A}_{\mathrm{2}} ,{A}_{\mathrm{3}} ,\ldots,{A}_{{n}} \:\mathrm{are}\:\mathrm{defined}\:\mathrm{as}\:\mathrm{follows} \\ $$$$\:\:\:\:{A}_{\mathrm{1}} =\mathrm{2},\:{A}_{{n}−\mathrm{1}} =\mathrm{2}\left({A}_{\mathrm{1}} +{A}_{\mathrm{2}} +{A}_{\mathrm{3}} +\ldots+{A}_{{n}} \right) \\ $$$${for}\:{n}=\mathrm{1},\mathrm{2},\mathrm{3},\ldots \\ $$$$\left(\mathrm{a}\right)\mathrm{Evaluate}\:\mathrm{the}\:\mathrm{numerical}\:\mathrm{values}\:\mathrm{of}\:{A}_{\mathrm{3}\:} \mathrm{and}\:{A}_{\mathrm{4}} \\ $$$$\left(\mathrm{b}\right)\mathrm{Prove}\:\mathrm{that}\:{A}_{\mathrm{2}} ,{A}_{\mathrm{3}} ,\ldots,{A}_{{n}} \:\mathrm{form}\:\mathrm{a}\:\mathrm{geometric} \\ $$$$\:\:\:\:\:\mathrm{progression}. \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 21/Nov/20
A_1 =2 and A_2 =2(A_1 +A_2 +A_3 ) A_1 =2(A_1 +A_2 ) ⇒−A_1 =2A_2 ⇒A_2 =−(1/2)A_1 =−1 A_2 =2A_1 +2A_2 +2A_3 ⇒2A_3 =−A_2 −2A_1 =1−4 =−3 ⇒ A_3 =−(3/2) A_3 =2(A_1 +A_2 +A_3 +A_4 ) =2A_1 +2A_2 +2A_3 +2A_4 ⇒ 2A_4 =A_3 −2A_1 −2A_2 −2A_3 =−A_3 −2A_1 −2A_2 =(3/2)−4 +2 =(3/2)−2 =−(1/2) ⇒A_4 =−(1/4) (A_3 /A_2 )=−(3/2)×(−1)=(3/2) ⇒(A_2 /A_3 )=(2/3) (A_4 /A_3 )=−(1/4)×((−2)/3)=(2/3) let suppose A_n geometric complex ⇒ ∃q ∈C /A_(n−1) =qA_n =2(A_1 +A_2 +....+A_n ) A_n =2(A_1 +A_2 +...+A_(n+1) ) =2(A_1 +A_2 +...+A_n )+2A_(n+1) =A_(n−1) +2A_(n+1) =q A_n +2A_(n+1) ⇒(1−q)A_n =2A_(n+1) ⇒ A_n =(2/(1−q)) A_(n+1) ⇒(2/(1−q))=q ⇒2 =q−q^2 ⇒−q^2 +q−2=0 ⇒ q^2 −q+2 =0 if A_n complex we get Δ=1−8=−7 ⇒q_1 =((1+i(√7))/2) and q_2 =((1−i(√7))/2)
$$\mathrm{A}_{\mathrm{1}} =\mathrm{2}\:\mathrm{and}\:\mathrm{A}_{\mathrm{2}} =\mathrm{2}\left(\mathrm{A}_{\mathrm{1}} +\mathrm{A}_{\mathrm{2}} +\mathrm{A}_{\mathrm{3}} \right) \\ $$$$\mathrm{A}_{\mathrm{1}} =\mathrm{2}\left(\mathrm{A}_{\mathrm{1}} +\mathrm{A}_{\mathrm{2}} \right)\:\Rightarrow−\mathrm{A}_{\mathrm{1}} =\mathrm{2A}_{\mathrm{2}} \:\Rightarrow\mathrm{A}_{\mathrm{2}} =−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{A}_{\mathrm{1}} =−\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{A}_{\mathrm{2}} =\mathrm{2A}_{\mathrm{1}} \:+\mathrm{2A}_{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2A}_{\mathrm{3}} \:\Rightarrow\mathrm{2A}_{\mathrm{3}} =−\mathrm{A}_{\mathrm{2}} −\mathrm{2A}_{\mathrm{1}} =\mathrm{1}−\mathrm{4}\:=−\mathrm{3}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{A}_{\mathrm{3}} =−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{A}_{\mathrm{3}} =\mathrm{2}\left(\mathrm{A}_{\mathrm{1}} \:+\mathrm{A}_{\mathrm{2}} \:+\mathrm{A}_{\mathrm{3}} +\mathrm{A}_{\mathrm{4}} \right)\:=\mathrm{2A}_{\mathrm{1}} \:+\mathrm{2A}_{\mathrm{2}} +\mathrm{2A}_{\mathrm{3}} \:+\mathrm{2A}_{\mathrm{4}} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{2A}_{\mathrm{4}} =\mathrm{A}_{\mathrm{3}} −\mathrm{2A}_{\mathrm{1}} −\mathrm{2A}_{\mathrm{2}} −\mathrm{2A}_{\mathrm{3}} \:=−\mathrm{A}_{\mathrm{3}} −\mathrm{2A}_{\mathrm{1}} −\mathrm{2A}_{\mathrm{2}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}−\mathrm{4}\:+\mathrm{2}\:=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}−\mathrm{2}\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow\mathrm{A}_{\mathrm{4}} =−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}} \\ $$$$\frac{\mathrm{A}_{\mathrm{3}} }{\mathrm{A}_{\mathrm{2}} }=−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}×\left(−\mathrm{1}\right)=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow\frac{\mathrm{A}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{A}_{\mathrm{3}} }=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\frac{\mathrm{A}_{\mathrm{4}} }{\mathrm{A}_{\mathrm{3}} }=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}×\frac{−\mathrm{2}}{\mathrm{3}}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{suppose}\:\mathrm{A}_{\mathrm{n}} \:\mathrm{geometric}\:\mathrm{complex}\:\Rightarrow\:\exists\mathrm{q}\:\in\mathrm{C}\:/\mathrm{A}_{\mathrm{n}−\mathrm{1}} =\mathrm{qA}_{\mathrm{n}} \\ $$$$=\mathrm{2}\left(\mathrm{A}_{\mathrm{1}} +\mathrm{A}_{\mathrm{2}} +….+\mathrm{A}_{\mathrm{n}} \right) \\ $$$$\mathrm{A}_{\mathrm{n}} =\mathrm{2}\left(\mathrm{A}_{\mathrm{1}} \:+\mathrm{A}_{\mathrm{2}} +…+\mathrm{A}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \right)\:=\mathrm{2}\left(\mathrm{A}_{\mathrm{1}} +\mathrm{A}_{\mathrm{2}} +…+\mathrm{A}_{\mathrm{n}} \right)+\mathrm{2A}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \\ $$$$=\mathrm{A}_{\mathrm{n}−\mathrm{1}} +\mathrm{2A}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\:=\mathrm{q}\:\mathrm{A}_{\mathrm{n}} \:+\mathrm{2A}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\Rightarrow\left(\mathrm{1}−\mathrm{q}\right)\mathrm{A}_{\mathrm{n}} =\mathrm{2A}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{A}_{\mathrm{n}} =\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{1}−\mathrm{q}}\:\mathrm{A}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\:\Rightarrow\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{1}−\mathrm{q}}=\mathrm{q}\:\Rightarrow\mathrm{2}\:=\mathrm{q}−\mathrm{q}^{\mathrm{2}} \:\Rightarrow−\mathrm{q}^{\mathrm{2}} +\mathrm{q}−\mathrm{2}=\mathrm{0}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{q}^{\mathrm{2}} −\mathrm{q}+\mathrm{2}\:=\mathrm{0}\:\mathrm{if}\:\mathrm{A}_{\mathrm{n}} \mathrm{complex}\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{get}\: \\ $$$$\Delta=\mathrm{1}−\mathrm{8}=−\mathrm{7}\:\Rightarrow\mathrm{q}_{\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{1}+\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{and}\:\mathrm{q}_{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{1}−\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{2}} \\ $$
Commented by ZiYangLee last updated on 21/Nov/20
wow...
$$\mathrm{wow}… \\ $$

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