Question Number 57489 by Abdo msup. last updated on 05/Apr/19
$${find}\:{the}\:{value}\:{of}\:\:\sum_{{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \:\:\:\frac{\mathrm{3}{n}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}{\left({n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} \left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$
Commented by maxmathsup by imad last updated on 06/Apr/19
$${we}\:{have}\:\left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} −\left({n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} \:={n}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{3}{n}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3}{n}+\mathrm{1}\:−\left({n}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3}{n}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3}{n}−\mathrm{1}\right) \\ $$$$=\mathrm{6}{n}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2}\:=\mathrm{2}\left(\mathrm{3}{n}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)\:\Rightarrow\mathrm{3}{n}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left\{\left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} −\left({n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} \right\}\:\Rightarrow \\ $$$${S}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\sum_{{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \:\:\:\frac{\left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} −\left({n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }{\left({n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} \left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\sum_{{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{\left({n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\sum_{{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{\left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$$${but}\:\:\sum_{{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{\left({n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }\:=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{3}} }\:=\xi\left(\mathrm{3}\right) \\ $$$$\sum_{{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{1}}{\left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }\:=\sum_{{n}=\mathrm{3}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{3}} }\:=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{3}} }\:−\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\:=\xi\left(\mathrm{3}\right)−\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{8}}\:\Rightarrow \\ $$$${S}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\xi\left(\mathrm{3}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\xi\left(\mathrm{3}\right)−\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{8}}\right)\:=\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{16}} \\ $$$$\bigstar\:{S}\:=\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{16}}\:\bigstar \\ $$
Answered by Smail last updated on 06/Apr/19
$${F}\left({n}\right)\frac{\mathrm{3}{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{\left({n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} \left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }=\frac{{a}}{{n}−\mathrm{1}}+\frac{{b}}{\left({n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }+\frac{{c}}{\left({n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }+\frac{{d}}{{n}+\mathrm{1}}+\frac{{e}}{\left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }+\frac{{f}}{\left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$$${F}\left(−{n}\right)=−\frac{{a}}{{n}+\mathrm{1}}+\frac{{b}}{\left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }−\frac{{c}}{\left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }−\frac{{d}}{\left({n}−\mathrm{1}\right)}+\frac{{e}}{\left({n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }−\frac{{f}}{\left({n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$$${F}\left(−{n}\right)={F}\left({n}\right) \\ $$$${b}={e}\:\:;\:\:{a}=−{d}\:\:;\:{c}=−{f}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$${F}\left(\mathrm{0}\right)=−\mathrm{1}=−{a}+{b}−{c}+{d}+{e}+{f} \\ $$$${b}−{a}−{c}−{a}+{b}−{c}=−\mathrm{1}\Leftrightarrow{b}−{a}−{c}=\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\Leftrightarrow{b}={a} \\ $$$${F}\left(\mathrm{2}\right)=\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{27}}={a}+{a}+{c}−\frac{{a}}{\mathrm{3}}+\frac{{a}}{\mathrm{9}}−\frac{{c}}{\mathrm{27}} \\ $$$$={a}\left(\mathrm{2}−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{9}}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{27}}\right)=\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{27}} \\ $$$$\frac{\mathrm{16}}{\mathrm{9}}{a}+\frac{\mathrm{26}}{\mathrm{2}×\mathrm{27}}=\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{27}}\Leftrightarrow{a}=\mathrm{0} \\ $$$${a}={b}={e}={d}=\mathrm{0} \\ $$$$\frac{\mathrm{3}{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{\left({n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} \left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\left({n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }−\frac{\mathrm{1}}{\left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }\right) \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{3}{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{\left({n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} \left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\left({n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }−\frac{\mathrm{1}}{\left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }\right) \\ $$$${let}\:{m}+\mathrm{1}={n}−\mathrm{1} \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{3}{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{\left({n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} \left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\underset{{m}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\left({m}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }+\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{3}} }\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{3}} }\right) \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{3}{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{\left({n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} \left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }=\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{16}} \\ $$
Commented by maxmathsup by imad last updated on 06/Apr/19
$${sir}\:{Smail}\:{you}\:{answer}\:{is}\:{correct}\:{thanks}\:{a}\:{lot}\:. \\ $$